Упр.728 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Задача

а) система
6x+ay-2a=0,
3x-2y+4=0;
б) система
5x+ay-a=0,
15x-6y+8=0
не имеет решений?

Подробный ответ

Система двух линейных уравнений не имеет решений, если коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены — нет.

а)

$$ \begin{cases} 6x+ay-2a=0,\\ 3x-2y+4=0 \end{cases} $$

Для отсутствия решений должно выполняться:

$$ \frac{6}{3}=\frac{a}{-2}\ne\frac{-2a}{4} $$

Из равенства коэффициентов при $x$ и $y$ получаем:

$$ 2=-\frac{a}{2} $$

$$ a=-4 $$

Проверим свободные члены:

$$ \frac{-2a}{4}=\frac{-2\cdot(-4)}{4}=2 $$

Тогда все три отношения равны, значит прямые совпадают, а не параллельны. При других значениях $a$ коэффициенты при $x$ и $y$ не пропорциональны. Следовательно, значений $a$, при которых система не имеет решений, нет.

б)

$$ \begin{cases} 5x+ay-a=0,\\ 15x-6y+8=0 \end{cases} $$

Для отсутствия решений нужно:

$$ \frac{5}{15}=\frac{a}{-6}\ne\frac{-a}{8} $$

Из равенства коэффициентов при $x$ и $y$:

$$ \frac{1}{3}=-\frac{a}{6} $$

$$ a=-2 $$

Проверим свободные члены:

$$ \frac{-a}{8}=\frac{-(-2)}{8}=\frac{1}{4} $$

$$ \frac{1}{3}\ne\frac{1}{4} $$

Значит, при $a=-2$ система не имеет решений.