Упр.716 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Равносильны ли системы уравнений:

• $$\begin{cases} x-2y=-1, \\ 3x+2y=5; \end{cases}$$
• $$\begin{cases} 2x-y-1=0, \\ 5x+y-6=0; \end{cases}$$
• $$\begin{cases} -3x+y+2=0, \\ 5x-2y-3=0? \end{cases}$$

Решим каждую систему.

1. $$\begin{cases} x-2y=-1,\\ 3x+2y=5 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x=2y-1.$$
   Подставим во второе:
   $$3(2y-1)+2y=5,$$
   $$6y-3+2y=5,$$
   $$8y=8,$$
   $$y=1.$$
   Тогда
   $$x=2\cdot 1-1=1.$$
   Получаем решение $$(1;1).$$

2. $$\begin{cases} 2x-y-1=0,\\ 5x+y-6=0 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$y=2x-1.$$
   Подставим во второе:
   $$5x+(2x-1)-6=0,$$
   $$7x-7=0,$$
   $$x=1.$$
   Тогда
   $$y=2\cdot 1-1=1.$$
   Получаем решение $$(1;1).$$

3. $$\begin{cases} -3x+y+2=0,\\ 5x-2y-3=0 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$y=3x-2.$$
   Подставим во второе:
   $$5x-2(3x-2)-3=0,$$
   $$5x-6x+4-3=0,$$
   $$-x+1=0,$$
   $$x=1.$$
   Тогда
   $$y=3\cdot 1-2=1.$$
   Получаем решение $$(1;1).$$

Все три системы имеют одно и то же решение, значит, они равносильны.

Ответ

Да, системы равносильны; их общее решение $$(1;1).$$