Упр.708 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

При каком условии система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, у которой пропорциональны коэффициенты при неизвестных: а) не имеет решений; б) имеет бесконечно много решений? Можно ли решать такие системы способом подстановки?

Пусть система имеет вид

$$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2. \end{cases}$$

Если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, то

$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}.$$

Дальше возможны два случая:

• если свободные члены не пропорциональны этим коэффициентам, то прямые параллельны и система не имеет решений;
• если все три пары коэффициентов пропорциональны, то уравнения задают одну и ту же прямую, и решений бесконечно много.

Итак:

а) система не имеет решений при

$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2};$$

б) система имеет бесконечно много решений при

$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}.$$

Такие системы можно решать способом подстановки.

Ответ

а) $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$$;

б) $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$$.

Да, можно решать способом подстановки.