Задание на исследование 7 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Пусть

$$\frac{1}{12}=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}.$$

Тогда

$$mn=12n+12m,$$

откуда

$$mn-12m=12n,$$

$$m(n-12)=12n,$$

$$m=\frac{12n}{n-12}.$$

Аналогично

$$n=\frac{12m}{m-12}.$$

Введём обозначения:

$$n-12=a,\qquad n=a+12,$$

$$m-12=b,\qquad m=b+12.$$

Тогда

$$\frac{1}{12}=\frac{1}{b+12}+\frac{1}{a+12}.$$

Умножим на $$(a+12)(b+12)$$:

$$ab+12a+12b+144=12a+144+12b+144,$$

откуда

$$ab=144.$$

Значит, нужно разложить число $$144$$ на два множителя так, чтобы один из них был чётным, а другой нечётным, и при этом учитывать порядок слагаемых.

Подходящие пары:

$$144=1\cdot144=2\cdot72=3\cdot48=4\cdot36=6\cdot24=8\cdot18=9\cdot16=12\cdot12.$$

Из них получаем различные представления дроби $$\frac{1}{12}$$ в виде суммы двух аликвотных дробей:

$$\frac{1}{12}=\frac{1}{1+12}+\frac{1}{144+12}=\frac{1}{13}+\frac{1}{156},$$

$$\frac{1}{12}=\frac{1}{3+12}+\frac{1}{48+12}=\frac{1}{15}+\frac{1}{60},$$

$$\frac{1}{12}=\frac{1}{9+12}+\frac{1}{16+12}=\frac{1}{21}+\frac{1}{28}.$$

С учётом порядка слагаемых получаем 6 различных способов.

Ответ

$$6$$ способов: $$\left(13;156\right),\ \left(156;13\right),\ \left(15;60\right),\ \left(60;15\right),\ \left(21;28\right),\ \left(28;21\right).$$