Упр.632 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

б) Используя учебник, справочную литературу и Интернет, подготовьте сообщение об И. Ньютоне и о задачах его «Всеобщей арифметики».

а) Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов встречается в комментарии индийского математика XI века Халаюдхи к трудам Пингалы.

Треугольник исследовал также Омар Хайям около 1100 года, поэтому в Иране его называют треугольником Хайяма.

В 1303 году была издана книга китайского математика Чжу Шицзе «Яшмовое зеркало четырёх элементов», где треугольник Паскаля был изображён на одной из иллюстраций; считается, что его также изучал Ян Хуэй, поэтому в Китае его называют треугольником Яна Хуэя.

На титульном листе учебника арифметики Петра Апиана, изданного в 1529 году, тоже изображён этот треугольник. В 1653 году вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике».

Числа треугольника Паскаля обладают такими свойствами:

• числа в строках симметричны относительно вертикальной оси;
• в строке $$n$$ первое и последнее числа равны $$1$$, второе и предпоследнее — $$n$$;
• сумма чисел $$n$$-й строки равна $$2^n$$;
• все числа в $$n$$-й строке, кроме единиц, делятся на $$n$$ тогда и только тогда, когда $$n$$ — простое число;
• каждое число в треугольнике равно числу способов добраться до него из вершины, двигаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз;
• числа, стоящие по горизонтальным строкам, являются биномиальными коэффициентами:

$$ (1+x)^0=1 \\ (1+x)^1=1+x \\ (1+x)^2=(1+x)(1+x)=1+2x+x^2 \\ (1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3 $$

Вообще, для любого целого неотрицательного числа $$n$$:

$$ (1+x)^n=a^0+a^1x+a^2x^2+\dots+a^px^p $$

б) Исаак Ньютон — английский физик, математик, механик и астроном, один из создателей классической физики. Он автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», где изложил закон всемирного тяготения и три закона механики.

Ньютон разработал дифференциальное и интегральное исчисление, теорию цвета и многие другие математические и физические теории.

В 1707 году вышел сборник математических работ Ньютона «Универсальная арифметика». В нём изложены численные методы, положившие начало новой дисциплине — численному анализу.

В начале книги Ньютон поясняет отношение арифметики и алгебры: цель алгебры — открыть и исследовать общие законы арифметики, а также предложить практические методы решения уравнений.

Особое внимание Ньютон уделил решению алгебраических уравнений; эта тема занимает почти половину книги. В ней приводятся решения 77 типовых задач, в основном геометрического характера, с подробными разъяснениями и методическими рекомендациями.

Среди других результатов, изложенных в книге, можно отметить:

• одну из первых формулировок основной теоремы алгебры: число вещественных корней многочлена не превосходит его степени, а число комплексных корней всегда чётно;
• обобщение декартовского правила знаков для определения числа корней уравнения.

Ответ

а) Первые упоминания о треугольнике Паскаля встречаются в Индии; в Иране его называют треугольником Хайяма, в Китае — треугольником Яна Хуэя. Числа треугольника Паскаля симметричны, связаны с биномиальными коэффициентами, сумма строки равна $$2^n$$ и обладают другими перечисленными свойствами.

б) Исаак Ньютон — английский учёный, автор «Математических начал натуральной философии» и «Универсальной арифметики»; в «Всеобщей арифметике» он рассматривает основы арифметических действий, методы решения уравнений и численные методы, важные для алгебры и анализа.