Упр.629 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. Найдите многочлен $$A$$, для которого верно равенство:
   а) $$x^{12}-1=(x^4-1)\cdot A$$;
   б) $$x^{12}-1=(x^2+1)\cdot A$$;
   в) $$x^{12}-1=(x^2-1)\cdot A$$;
   г) $$x^{12}-1=(x+1)\cdot A$$;
   д) $$x^{12}-1=(x-1)\cdot A$$;
   е) $$x^5-32=(x-2)\cdot A$$;
   ж) $$x^6-64=(x-2)\cdot A$$;
   з) $$x^7-128=(x-2)\cdot A$$.

1. Используем формулы разложения:

   $$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})$$

   и при необходимости разложение на множители:

   $$x^2-1=(x-1)(x+1), \quad x^2+1 \text{ — не разлагается на действительные множители.}$$

2. а)

   $$x^{12}-1=(x^4-1)A$$

   $$A=\frac{x^{12}-1}{x^4-1}=\frac{(x^6-1)(x^6+1)}{(x^2-1)(x^2+1)}=(x^4+x^2+1)(x^4-x^2+1)$$

   $$A=x^8+x^4+1.$$

3. б)

   $$x^{12}-1=(x^2+1)A$$

   $$A=\frac{x^{12}-1}{x^2+1}=\frac{(x^6-1)(x^6+1)}{x^2+1}=(x^6-1)(x^4-x^2+1)$$

   $$A=x^{10}-x^8+x^6-x^4+x^2-1.$$

4. в)

   $$x^{12}-1=(x^2-1)A$$

   $$A=\frac{x^{12}-1}{x^2-1}=\frac{(x^6-1)(x^6+1)}{(x-1)(x+1)}=(x^4+x^2+1)(x^6+1)$$

   $$A=x^{10}+x^8+x^6+x^4+x^2+1.$$

5. г)

   $$x^{12}-1=(x+1)A$$

   $$A=\frac{x^{12}-1}{x+1}=(x^{11}-x^{10}+x^9-x^8+x^7-x^6+x^5-x^4+x^3-x^2+x-1)$$

   $$A=x^{11}-x^{10}+x^9-x^8+x^7-x^6+x^5-x^4+x^3-x^2+x-1.$$

6. д)

   $$x^{12}-1=(x-1)A$$

   $$A=\frac{x^{12}-1}{x-1}=x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1.$$

7. е)

   $$x^5-32=(x-2)A$$

   $$A=\frac{x^5-32}{x-2}=x^4+2x^3+4x^2+8x+16.$$

8. ж)

   $$x^6-64=(x-2)A$$

   $$A=\frac{x^6-64}{x-2}=x^5+2x^4+4x^3+8x^2+16x+32.$$

9. з)

   $$x^7-128=(x-2)A$$

   $$A=\frac{x^7-128}{x-2}=x^6+2x^5+4x^4+8x^3+16x^2+32x+64.$$

Ответ

а) $$A=x^8+x^4+1$$; б) $$A=x^{10}-x^8+x^6-x^4+x^2-1$$; в) $$A=x^{10}+x^8+x^6+x^4+x^2+1$$; г) $$A=x^{11}-x^{10}+x^9-x^8+x^7-x^6+x^5-x^4+x^3-x^2+x-1$$; д) $$A=x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$$; е) $$A=x^4+2x^3+4x^2+8x+16$$; ж) $$A=x^5+2x^4+4x^3+8x^2+16x+32$$; з) $$A=x^6+2x^5+4x^4+8x^3+16x^2+32x+64$$.