Упр.627 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

а) (x3-x2+x+3)/(x2-2x+3);
б) (x3+x2+3x-5)/(x2+2x+5);
в) (x3-1)/(x2+2×2+2x+1);
г) (x3+8)/(x3-4×2+8x-8).

1. а) Разложим числитель на множители:

   $$x^3-x^2+x+3=x^2(x-1)+1(x+3)$$

   Удобнее проверить деление на $$x+1$$:

   $$x^3-x^2+x+3=(x+1)(x^2-2x+3)$$

   Тогда

   $$\frac{x^3-x^2+x+3}{x^2-2x+3}=\frac{(x+1)(x^2-2x+3)}{x^2-2x+3}=x+1.$$

2. б) Аналогично:

   $$x^3+x^2+3x-5=(x-1)(x^2+2x+5)$$

   Следовательно,

   $$\frac{x^3+x^2+3x-5}{x^2+2x+5}=\frac{(x-1)(x^2+2x+5)}{x^2+2x+5}=x-1.$$

3. в) Числитель — разность кубов:

   $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).$$

   Знаменатель сгруппируем:

   $$x^3+2x^2+2x+1=x^3+1+2x(x+1)=(x+1)(x^2-x+1)+2x(x+1).$$

   Вынесем общий множитель:

   $$x^3+2x^2+2x+1=(x+1)(x^2+x+1).$$

   Тогда

   $$\frac{x^3-1}{x^3+2x^2+2x+1}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x+1)(x^2+x+1)}=\frac{x-1}{x+1}.$$

4. г) Числитель — сумма кубов:

   $$x^3+8=x^3+2^3=(x+2)(x^2-2x+4).$$

   Знаменатель:

   $$x^3-4x^2+8x-8=x^3-8-4x(x-2)=(x-2)(x^2+2x+4)-4x(x-2).$$

   Вынесем общий множитель:

   $$x^3-4x^2+8x-8=(x-2)(x^2-2x+4).$$

   Тогда

   $$\frac{x^3+8}{x^3-4x^2+8x-8}=\frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{(x-2)(x^2-2x+4)}=\frac{x+2}{x-2}.$$

Ответ

а) $$x+1$$; б) $$x-1$$; в) $$\frac{x-1}{x+1}$$; г) $$\frac{x+2}{x-2}$$.