Упр.625 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Разделите с остатком многочлен:

а) $$x^3-4x^2+x+6$$ на $$x+1$$; на $$x-2$$; на $$x-3$$;

б) $$x^4+2x^3+x^2+6$$ на $$x^2+x+1$$; на $$x^2+x-1$$; на $$x+2$$;

в) $$x^5-1$$ на $$x^4+1$$; на $$x^3-1$$; на $$x^4+x^3+x^2+x+1$$.

1. а) Делим многочлен $$x^3-4x^2+x+6$$ на $$x+1$$:

   $$x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x^2-5x+6)$$
   $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

   Значит, при делении на $$x+1$$ получаем частное $$x^2-5x+6$$ и остаток $$0$$.

   При делении на $$x-2$$:
   $$x^3-4x^2+x+6=(x-2)(x^2-2x-3)$$

   Частное $$x^2-2x-3$$, остаток $$0$$.

   При делении на $$x-3$$:
   $$x^3-4x^2+x+6=(x-3)(x^2-x-2)$$

   Частное $$x^2-x-2$$, остаток $$0$$.

2. б) Делим многочлен $$x^4+2x^3+x^2+6$$ на $$x^2+x+1$$:

   $$x^4+2x^3+x^2+6=(x^2+x+1)(x^2+x-1)+7$$

   Частное $$x^2+x-1$$, остаток $$7$$.

   Делим на $$x^2+x-1$$:
   $$x^4+2x^3+x^2+6=(x^2+x-1)(x^2+x+1)+7$$

   Частное $$x^2+x+1$$, остаток $$7$$.

   Делим на $$x+2$$:
   $$x^4+2x^3+x^2+6=(x+2)(x^3+x-2)+10$$

   Частное $$x^3+x-2$$, остаток $$10$$.

3. в) Делим многочлен $$x^5-1$$ на $$x^4+1$$:

   $$x^5-1=(x^4+1)\cdot x+(-x-1)$$

   Частное $$x$$, остаток $$-x-1$$.

   Делим на $$x^3-1$$:
   $$x^5-1=(x^3-1)(x^2)+x^2-1$$

   Частное $$x^2$$, остаток $$x^2-1$$.

   Делим на $$x^4+x^3+x^2+x+1$$:
   $$x^5-1=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)$$

   Частное $$x-1$$, остаток $$0$$.

Ответ

а) $$x^2-5x+6,\ 0;\quad x^2-2x-3,\ 0;\quad x^2-x-2,\ 0$$

б) $$x^2+x-1,\ 7;\quad x^2+x+1,\ 7;\quad x^3+x-2,\ 10$$

в) $$x,\ -x-1;\quad x^2,\ x^2-1;\quad x-1,\ 0$$