Упр.625 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Задача

а) х3 — 4х2 + х + 6 на х + 1; на х — 2; на х — 3;
б) х4 + 2×3 + x2 + 6 на x2 + х + 1; на х2 + х — 1; на х + 2;
в) х5 — 1 на х4 + 1; на x3 — 1; на х4 + x3 + х2 + х + 1.

Подробный ответ

а) Делим многочлен $$x^3-4x^2+x+6$$ на $$x+1$$:
$$x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x^2-5x+6)$$
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$
Значит, при делении на $$x+1$$ получаем частное $$x^2-5x+6$$ и остаток $$0$$.
При делении на $$x-2$$:
$$x^3-4x^2+x+6=(x-2)(x^2-2x-3)$$
Частное $$x^2-2x-3$$, остаток $$0$$.
При делении на $$x-3$$:
$$x^3-4x^2+x+6=(x-3)(x^2-x-2)$$
Частное $$x^2-x-2$$, остаток $$0$$.
б) Делим многочлен $$x^4+2x^3+x^2+6$$ на $$x^2+x+1$$:
$$x^4+2x^3+x^2+6=(x^2+x+1)(x^2+x-1)+7$$
Частное $$x^2+x-1$$, остаток $$7$$.
Делим на $$x^2+x-1$$:
$$x^4+2x^3+x^2+6=(x^2+x-1)(x^2+x+1)+7$$
Частное $$x^2+x+1$$, остаток $$7$$.
Делим на $$x+2$$:
$$x^4+2x^3+x^2+6=(x+2)(x^3+x-2)+10$$
Частное $$x^3+x-2$$, остаток $$10$$.
в) Делим многочлен $$x^5-1$$ на $$x^4+1$$:
$$x^5-1=(x^4+1)\cdot x+(-x-1)$$
Частное $$x$$, остаток $$-x-1$$.
Делим на $$x^3-1$$:
$$x^5-1=(x^3-1)(x^2)+x^2-1$$
Частное $$x^2$$, остаток $$x^2-1$$.
Делим на $$x^4+x^3+x^2+x+1$$:
$$x^5-1=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)$$
Частное $$x-1$$, остаток $$0$$.