Упр.624 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

б) (a^1999 — 1)/(a^1998 — 1)?

а) Используем формулу суммы степеней:

$$a^{1999}+b^{1999}=(a+b)\left(a^{1998}-a^{1997}b+\dots-ab^{1997}+b^{1998}\right),$$

$$a^{1997}+b^{1997}=(a+b)\left(a^{1996}-a^{1995}b+\dots-ab^{1995}+b^{1996}\right).$$

Тогда

$$ \frac{a^{1999}+b^{1999}}{a^{1997}+b^{1997}} = \frac{(a+b)\left(a^{1998}-a^{1997}b+\dots-ab^{1997}+b^{1998}\right)} {(a+b)\left(a^{1996}-a^{1995}b+\dots-ab^{1995}+b^{1996}\right)}. $$

Сокращаем на $$a+b$$:

$$ \frac{a^{1998}-a^{1997}b+\dots-ab^{1997}+b^{1998}} {a^{1996}-a^{1995}b+\dots-ab^{1995}+b^{1996}}. $$

б) Разложим на множители разность степеней:

$$a^{1999}-1=(a-1)\left(a^{1998}+a^{1997}+\dots+a+1\right),$$

$$a^{1998}-1=(a-1)\left(a^{1997}+a^{1996}+\dots+a+1\right).$$

Тогда

$$ \frac{a^{1999}-1}{a^{1998}-1} = \frac{(a-1)\left(a^{1998}+a^{1997}+\dots+a+1\right)} {(a-1)\left(a^{1997}+a^{1996}+\dots+a+1\right)}. $$

Сокращаем на $$a-1$$:

$$ \frac{a^{1998}+a^{1997}+\dots+a+1} {a^{1997}+a^{1996}+\dots+a+1}. $$

Обе дроби сократимы.

Ответ

а) сократима; б) сократима.