Упр.624 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Сократима ли дробь: а) $$\frac{a^{1999}+b^{1999}}{a^{1997}+b^{1997}}$$; б) $$\frac{a^{1999}-1}{a^{1998}-1}$$?

а) Используем формулу суммы степеней:

$$a^{1999}+b^{1999}=(a+b)\left(a^{1998}-a^{1997}b+\dots-ab^{1997}+b^{1998}\right),$$

$$a^{1997}+b^{1997}=(a+b)\left(a^{1996}-a^{1995}b+\dots-ab^{1995}+b^{1996}\right).$$

Тогда

$$\frac{a^{1999}+b^{1999}}{a^{1997}+b^{1997}} = \frac{(a+b)\left(a^{1998}-a^{1997}b+\dots-ab^{1997}+b^{1998}\right)} {(a+b)\left(a^{1996}-a^{1995}b+\dots-ab^{1995}+b^{1996}\right)}.$$

Сокращаем на $$a+b$$:

$$\frac{a^{1998}-a^{1997}b+\dots-ab^{1997}+b^{1998}} {a^{1996}-a^{1995}b+\dots-ab^{1995}+b^{1996}}.$$

б) Разложим на множители разность степеней:

$$a^{1999}-1=(a-1)\left(a^{1998}+a^{1997}+\dots+a+1\right),$$

$$a^{1998}-1=(a-1)\left(a^{1997}+a^{1996}+\dots+a+1\right).$$

Тогда

$$\frac{a^{1999}-1}{a^{1998}-1} = \frac{(a-1)\left(a^{1998}+a^{1997}+\dots+a+1\right)} {(a-1)\left(a^{1997}+a^{1996}+\dots+a+1\right)}.$$

Сокращаем на $$a-1$$:

$$\frac{a^{1998}+a^{1997}+\dots+a+1} {a^{1997}+a^{1996}+\dots+a+1}.$$

Обе дроби сократимы.

Ответ

а) сократима; б) сократима.