Упр.620 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)
- 7. Упростите выражение и найдите его значение:
а) $$\frac{2a^{-2}}{3-a^{-2}}-\frac{2a^{-2}}{3+a^{-2}}$$ при $$a=\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$$;
б) $$\frac{2a^{-2}}{1-a^{-2}}+\frac{2a^{-2}}{1+a^{-2}}$$ при $$a=\left(\frac{1}{5}\right)^{-1}$$;
в) $$\left(\frac{a^{-2}}{2-a^{-2}}\right)^{-2}-\left(\frac{a^{-2}}{2+a^{-2}}\right)^{-2}$$ при $$a=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$$;
г) $$\left(\frac{2a^{-2}}{5-a^{-2}}\right)^{-2}-\left(\frac{2a^{-2}}{5+a^{-2}}\right)^{-2}$$ при $$a=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$$.
а) Упростим выражение:
$$\frac{2a^{-2}}{3-a^{-2}}-\frac{2a^{-2}}{3+a^{-2}}=\frac{2/a^2}{3-1/a^2}-\frac{2/a^2}{3+1/a^2}$$
$$=\frac{2}{3a^2-1}-\frac{2}{3a^2+1}=\frac{2(3a^2+1)-2(3a^2-1)}{(3a^2-1)(3a^2+1)}$$
$$=\frac{4}{9a^4-1}$$
При $$a=\left(\frac12\right)^{-1}=2$$ получаем:
$$\frac{4}{9\cdot 2^4-1}=\frac{4}{144-1}=\frac{4}{143}$$
б) Упростим выражение:
$$\frac{2a^{-2}}{1-a^{-2}}+\frac{2a^{-2}}{1+a^{-2}}=\frac{2/a^2}{1-1/a^2}+\frac{2/a^2}{1+1/a^2}$$
$$=\frac{2}{a^2-1}+\frac{2}{a^2+1}=\frac{2(a^2+1)+2(a^2-1)}{(a^2-1)(a^2+1)}$$
$$=\frac{4a^2}{a^4-1}$$
При $$a=\left(\frac15\right)^{-1}=5$$ получаем:
$$\frac{4\cdot 5^2}{5^4-1}=\frac{100}{625-1}=\frac{100}{624}=\frac{25}{156}$$
в) Упростим выражение:
$$\left(\frac{a^{-2}}{2-a^{-2}}\right)^{-2}-\left(\frac{a^{-2}}{2+a^{-2}}\right)^{-2}$$
$$=\left(\frac{2-a^{-2}}{a^{-2}}\right)^2-\left(\frac{2+a^{-2}}{a^{-2}}\right)^2$$
$$=\left(2a^2-1\right)^2-\left(2a^2+1\right)^2$$
$$=\bigl((2a^2-1)-(2a^2+1)\bigr)\bigl((2a^2-1)+(2a^2+1)\bigr)=-4a^2$$
При $$a=\left(\frac12\right)^{-2}=4$$ получаем:
$$-4\cdot 4^2=-64$$
г) Упростим выражение:
$$\left(\frac{2a^{-2}}{5-a^{-2}}\right)^{-2}-\left(\frac{2a^{-2}}{5+a^{-2}}\right)^{-2}$$
$$=\left(\frac{5-a^{-2}}{2a^{-2}}\right)^2-\left(\frac{5+a^{-2}}{2a^{-2}}\right)^2$$
$$=\frac{(5-a^{-2})^2-(5+a^{-2})^2}{4a^{-4}}$$
$$=\frac{-20a^{-2}}{4a^{-4}}=-5a^2$$
При $$a=\left(\frac12\right)^{-2}=4$$ получаем:
$$-5\cdot 4^2=-80$$
Ответ
а) $$\frac{4}{143}$$; б) $$\frac{25}{156}$$; в) $$-64$$; г) $$-80$$.
