Упр.618 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Задача

Вычислите:

а) $$\frac{2000^{-3}-1999^{-3}}{2000^{-2}+2000^{-1}\cdot1999^{-1}+1999^{-2}}$$;
б) $$\frac{1222^{-3}+777^{-3}}{1222^{-2}-1222^{-1}\cdot777^{-1}+777^{-2}}$$.

Подробный ответ

а) Представим степени с отрицательными показателями в виде дробей и воспользуемся формулой разности кубов:

$$\frac{2000^{-3}-1999^{-3}}{2000^{-2}+2000^{-1}\cdot 1999^{-1}+1999^{-2}} = \frac{(2000^{-1})^3-(1999^{-1})^3}{(2000^{-1})^2+2000^{-1}\cdot 1999^{-1}+(1999^{-1})^2}$$

$$= \frac{(2000^{-1}-1999^{-1})\bigl((2000^{-1})^2+2000^{-1}\cdot 1999^{-1}+(1999^{-1})^2\bigr)} {(2000^{-1})^2+2000^{-1}\cdot 1999^{-1}+(1999^{-1})^2}$$

$$=2000^{-1}-1999^{-1} =\frac{1}{2000}-\frac{1}{1999} =\frac{1999-2000}{2000\cdot 1999} =-\frac{1}{3998000}$$

б) Здесь используем формулу суммы кубов:

$$\frac{1222^{-3}+777^{-3}}{1222^{-2}-1222^{-1}\cdot 777^{-1}+777^{-2}} = \frac{(1222^{-1})^3+(777^{-1})^3}{(1222^{-1})^2-1222^{-1}\cdot 777^{-1}+(777^{-1})^2}$$

$$= \frac{(1222^{-1}+777^{-1})\bigl((1222^{-1})^2-1222^{-1}\cdot 777^{-1}+(777^{-1})^2\bigr)} {(1222^{-1})^2-1222^{-1}\cdot 777^{-1}+(777^{-1})^2}$$

$$=1222^{-1}+777^{-1} =\frac{1}{1222}+\frac{1}{777} =\frac{777+1222}{1222\cdot 777} =\frac{1999}{949494}$$