Упр.617 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

1. а) Преобразуем степени:

   $$\frac{a^{-2}+2a^{-1}b^{-1}+b^{-2}}{a^{-2}-b^{-2}} = \frac{(a^{-1}+b^{-1})^2}{(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1})} = \frac{a^{-1}+b^{-1}}{a^{-1}-b^{-1}}.$$

2. б) Числитель — сумма кубов, знаменатель раскладываем на множители:

   $$\frac{a^{-3}+b^{-3}}{a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2}} = \frac{(a^{-1}+b^{-1})(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2})}{a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2}} = a^{-1}+b^{-1}.$$

3. в) Используем свойства степеней:

   $$\left(\frac{a^3-b^3}{a^3+b^3}\right)^5\cdot \left(\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}\right)^5 = \left(\frac{a^3-b^3}{a^3+b^3}\cdot\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}\right)^5 =1.$$

4. г) Представим деление как умножение на обратную дробь:

   $$\left(\frac{a^2-a^{-2}}{a^2+a^{-2}}\right)^7 : \left(\frac{a^2+a^{-2}}{a^2-a^{-2}}\right)^{-7} = \left(\frac{a^2-a^{-2}}{a^2+a^{-2}}\right)^7\cdot \left(\frac{a^2-a^{-2}}{a^2+a^{-2}}\right)^7 =1.$$

5. д) Преобразуем числитель и знаменатель:

   $$\frac{\frac1{a^2}+\frac2{ab}+\frac1{b^2}}{\frac1{a^2}-\frac1{b^2}} = \frac{\left(\frac1a+\frac1b\right)^2}{\left(\frac1a-\frac1b\right)\left(\frac1a+\frac1b\right)} = \frac{\frac1a+\frac1b}{\frac1a-\frac1b} = \frac{a^{-1}+b^{-1}}{a^{-1}-b^{-1}}.$$

6. е) Аналогично:

   $$\frac{\frac1{a^2}-\frac2{ab}+\frac1{b^2}}{\frac1{a^3}-\frac3{a^2b}+\frac3{ab^2}-\frac1{b^3}} = \frac{\left(\frac1a-\frac1b\right)^2}{\left(\frac1a-\frac1b\right)^3} = \frac1{\frac1a-\frac1b} = \frac1{a^{-1}-b^{-1}}.$$

Ответ

а) $$\frac{a^{-1}+b^{-1}}{a^{-1}-b^{-1}}$$;
б) $$a^{-1}+b^{-1}$$;
в) $$1$$;
г) $$1$$;
д) $$\frac{a^{-1}+b^{-1}}{a^{-1}-b^{-1}}$$;
е) $$\frac1{a^{-1}-b^{-1}}$$.