Упр.615 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

а) (a^-2 — b^-2)/(a^-1+b^-1);
б) (a^-3+b^-3)/(a^-1+b^-1);
в) (a^3-b^-3)/(a^-1-b^-1);
г) (a^-4-b^-4)/(a^-2+b^-2).

а) Преобразуем степени с отрицательным показателем:

$$ \frac{a^{-2}-b^{-2}}{a^{-1}+b^{-1}} = \frac{(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1})}{a^{-1}+b^{-1}} = a^{-1}-b^{-1}. $$

б) Представим числитель как сумму кубов:

$$ \frac{a^{-3}+b^{-3}}{a^{-1}+b^{-1}} = \frac{(a^{-1}+b^{-1})(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2})}{a^{-1}+b^{-1}} = a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2}. $$

в) Представим числитель как разность кубов:

$$ \frac{a^{-3}-b^{-3}}{a^{-1}-b^{-1}} = \frac{(a^{-1}-b^{-1})(a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2})}{a^{-1}-b^{-1}} = a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2}. $$

г) Используем разность квадратов:

$$ \frac{a^{-4}-b^{-4}}{a^{-2}+b^{-2}} = \frac{(a^{-2}-b^{-2})(a^{-2}+b^{-2})}{a^{-2}+b^{-2}} = a^{-2}-b^{-2}. $$

Далее:

$$ a^{-2}-b^{-2}=(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1}). $$

Ответ

а) $$a^{-1}-b^{-1}$$; б) $$a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2}$$; в) $$a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2}$$; г) $$a^{-2}-b^{-2}$$.