Упр.615 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   а) $$\frac{a^{-2}-b^{-2}}{a^{-1}+b^{-1}}$$;
   б) $$\frac{a^{-3}+b^{-3}}{a^{-1}+b^{-1}}$$;
   в) $$\frac{a^3-b^{-3}}{a^{-1}-b^{-1}}$$;
   г) $$\frac{a^{-4}-b^{-4}}{a^{-2}+b^{-2}}$$.

а) Преобразуем степени с отрицательным показателем:

$$\frac{a^{-2}-b^{-2}}{a^{-1}+b^{-1}} = \frac{(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1})}{a^{-1}+b^{-1}} = a^{-1}-b^{-1}.$$

б) Представим числитель как сумму кубов:

$$\frac{a^{-3}+b^{-3}}{a^{-1}+b^{-1}} = \frac{(a^{-1}+b^{-1})(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2})}{a^{-1}+b^{-1}} = a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2}.$$

в) Представим числитель как разность кубов:

$$\frac{a^{-3}-b^{-3}}{a^{-1}-b^{-1}} = \frac{(a^{-1}-b^{-1})(a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2})}{a^{-1}-b^{-1}} = a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2}.$$

г) Используем разность квадратов:

$$\frac{a^{-4}-b^{-4}}{a^{-2}+b^{-2}} = \frac{(a^{-2}-b^{-2})(a^{-2}+b^{-2})}{a^{-2}+b^{-2}} = a^{-2}-b^{-2}.$$

Далее:

$$a^{-2}-b^{-2}=(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1}).$$

Ответ

а) $$a^{-1}-b^{-1}$$; б) $$a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2}$$; в) $$a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2}$$; г) $$a^{-2}-b^{-2}$$.