Упр.614 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что верно равенство:

а) $$\left(a^{-1}+b^{-1}\right)^2=a^{-2}+2a^{-1}b^{-1}+b^{-2}$$;

б) $$\left(a^{-1}-b^{-1}\right)^2=a^{-2}-2a^{-1}b^{-1}+b^{-2}$$;

в) $$\left(a^{-1}-b^{-1}\right)\left(a^{-1}+b^{-1}\right)=a^{-2}-b^{-2}$$;

г) $$\left(a^{-1}-b^{-1}\right)\left(a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2}\right)=a^{-3}-b^{-3}$$;

д) $$\left(a^{-1}+b^{-1}\right)\left(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2}\right)=a^{-3}+b^{-3}$$.

Подробный ответ

Используем формулы квадрата суммы, квадрата разности и произведения суммы на разность:

$$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2,\qquad (x-y)^2=x^2-2xy+y^2,\qquad (x-y)(x+y)=x^2-y^2.$$

$$\left(a^{-1}+b^{-1}\right)^2=(a^{-1})^2+2a^{-1}b^{-1}+(b^{-1})^2=a^{-2}+2a^{-1}b^{-1}+b^{-2}.$$
$$\left(a^{-1}-b^{-1}\right)^2=(a^{-1})^2-2a^{-1}b^{-1}+(b^{-1})^2=a^{-2}-2a^{-1}b^{-1}+b^{-2}.$$
$$\left(a^{-1}-b^{-1}\right)\left(a^{-1}+b^{-1}\right)=(a^{-1})^2-(b^{-1})^2=a^{-2}-b^{-2}.$$
$$\left(a^{-1}-b^{-1}\right)\left(a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2}\right)$$
$$=a^{-3}+a^{-2}b^{-1}-a^{-2}b^{-1}-a^{-1}b^{-2}+a^{-1}b^{-2}-b^{-3}=a^{-3}-b^{-3}.$$
$$\left(a^{-1}+b^{-1}\right)\left(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2}\right)$$
$$=a^{-3}-a^{-2}b^{-1}+a^{-1}b^{-2}+a^{-2}b^{-1}-a^{-1}b^{-2}+b^{-3}=a^{-3}+b^{-3}.$$

Ответ

а) $$\left(a^{-1}+b^{-1}\right)^2=a^{-2}+2a^{-1}b^{-1}+b^{-2}$$;
б) $$\left(a^{-1}-b^{-1}\right)^2=a^{-2}-2a^{-1}b^{-1}+b^{-2}$$;
в) $$\left(a^{-1}-b^{-1}\right)\left(a^{-1}+b^{-1}\right)=a^{-2}-b^{-2}$$;
г) $$\left(a^{-1}-b^{-1}\right)\left(a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2}\right)=a^{-3}-b^{-3}$$;
д) $$\left(a^{-1}+b^{-1}\right)\left(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2}\right)=a^{-3}+b^{-3}$$.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Общая оценка

4.2 / 5

Другие учебники