Упр.614 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)
а) (а^-1 + b^-1)2 = а^-2 + 2a^-1b^-1 + b^-2;
б) (a^-1 — b^-1)2 = а^-2 — 2а^-1b^-1 + b^-2;
в) (а^-1 — b^-1) (а^-1 + b^-1) = a^-2 — b^-2;
г) (а^-1 — b^-1)(a^-2 + а^-1b^-1 + b^-2) = а^-3 — b^-3;
д) (а^-1 + b^-1)(a^-2 — а^-1b^-1 + b^-2) = а^-3 + b^-3.
Используем формулы квадрата суммы, квадрата разности и произведения суммы на разность:
$$ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2,\qquad (x-y)^2=x^2-2xy+y^2,\qquad (x-y)(x+y)=x^2-y^2. $$
$$\left(a^{-1}+b^{-1}\right)^2=(a^{-1})^2+2a^{-1}b^{-1}+(b^{-1})^2=a^{-2}+2a^{-1}b^{-1}+b^{-2}.$$
$$\left(a^{-1}-b^{-1}\right)^2=(a^{-1})^2-2a^{-1}b^{-1}+(b^{-1})^2=a^{-2}-2a^{-1}b^{-1}+b^{-2}.$$
$$\left(a^{-1}-b^{-1}\right)\left(a^{-1}+b^{-1}\right)=(a^{-1})^2-(b^{-1})^2=a^{-2}-b^{-2}.$$
$$\left(a^{-1}-b^{-1}\right)\left(a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2}\right)$$
$$=a^{-3}+a^{-2}b^{-1}-a^{-2}b^{-1}-a^{-1}b^{-2}+a^{-1}b^{-2}-b^{-3}=a^{-3}-b^{-3}.$$$$\left(a^{-1}+b^{-1}\right)\left(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2}\right)$$
$$=a^{-3}-a^{-2}b^{-1}+a^{-1}b^{-2}+a^{-2}b^{-1}-a^{-1}b^{-2}+b^{-3}=a^{-3}+b^{-3}.$$
Ответ
а) $$\left(a^{-1}+b^{-1}\right)^2=a^{-2}+2a^{-1}b^{-1}+b^{-2}$$;
б) $$\left(a^{-1}-b^{-1}\right)^2=a^{-2}-2a^{-1}b^{-1}+b^{-2}$$;
в) $$\left(a^{-1}-b^{-1}\right)\left(a^{-1}+b^{-1}\right)=a^{-2}-b^{-2}$$;
г) $$\left(a^{-1}-b^{-1}\right)\left(a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2}\right)=a^{-3}-b^{-3}$$;
д) $$\left(a^{-1}+b^{-1}\right)\left(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2}\right)=a^{-3}+b^{-3}$$.
