Задание на исследование 6 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

6. Сколькими различными способами, не учитывая порядка слагаемых, можно представить дробь $$\frac{1}{12}$$ в виде суммы двух аликвотных дробей с разными знаменателями?

Пусть

$$\frac{1}{12}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}.$$

Тогда

$$xy=12x+12y.$$

Сделаем замену:

$$x=a+12,\quad y=b+12.$$

Подставим в равенство:

$$\frac{1}{12}=\frac{1}{a+12}+\frac{1}{b+12}.$$

После преобразований получаем

$$ab=144.$$

Значит, нужно найти все различные пары натуральных чисел, произведение которых равно $$144$$, кроме пары $$12\cdot 12$$, так как знаменатели должны быть различными.

Разложим число $$144$$ на пары множителей:

$$144=1\cdot 144=2\cdot 72=3\cdot 48=4\cdot 36=6\cdot 24=8\cdot 18=9\cdot 16=12\cdot 12.$$

Всего таких пар $$8$$, но одна из них не подходит, поэтому остаётся $$7$$ способов.

Ответ

$$7$$ способов.