Упр.568 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. а) $$\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(a-c)(b-c)}=0$$;
   б) $$\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0$$;
   в) $$\frac{a^4-b^4}{\bigl((a+b)^2-4ab\bigr)\bigl((a-b)^2+4ab\bigr)\bigl((a+b)^2-2ab\bigr)}=\frac{1}{a^2-b^2}$$.

1. а) Приведём дроби к общему знаменателю:

   $$\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(a-c)(b-a)}=0$$

   Так как $$b-a=-(a-b)$$, то

   $$\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}-\frac{1}{(a-c)(a-b)}=0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{c-a+a-b+b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0$$

   $$\frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0$$

   Получаем верное равенство.

2. б) Аналогично:

   $$\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0$$

   Так как $$b-a=-(a-b)$$ и $$c-b=-(b-c)$$, то

   $$\frac{1}{(a-b)(a-c)}-\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(b-c)}=0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{b-c-a+c+a-b}{(a-b)(a-c)(b-c)}=0$$

   $$\frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)}=0$$

   Равенство верно.

3. в) Упростим левую часть:

   $$\frac{a^4-b^4}{\bigl((a+b)^2-4ab\bigr)\bigl((a-b)^2+4ab\bigr)\bigl((a+b)^2-2ab\bigr)}$$

   Раскроем скобки:

   $$(a+b)^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$

   $$(a-b)^2+4ab=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$

   $$(a+b)^2-2ab=a^2+b^2$$

   Тогда

   $$\frac{a^4-b^4}{(a-b)^2(a+b)^2(a^2+b^2)}$$

   Разложим числитель на множители:

   $$a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$$

   Сокращаем:

   $$\frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{(a-b)^2(a+b)^2(a^2+b^2)} =\frac{1}{(a-b)(a+b)}$$

   А так как

   $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2,$$

   то

   $$\frac{1}{(a-b)(a+b)}=\frac{1}{a^2-b^2}.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$0$$; в) $$\frac{1}{a^2-b^2}$$.