Упр.565 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)
а) a+b=b+a;
б) ab+ac=a(b+c);
в) a/b=1/b*a;
г) 1/ab=1/a*1/b;
д) (x+y)2/(x+y)=x+y;
е) x-y=(x2-y2)/(x+y);
ж) (m3+m)/(m2+1)=m;
з) m2-m+1=(m3+1)/(m+1);
и) (a+b)/(a2-b2) = 1/(a-b);
к) a/(a-b) — b/(a+b) = (a2+b2)/(a2-b2)?
Являются ли эти равенства тождествами?
Найдём, при каких значениях букв обе части каждого равенства имеют смысл. Если в равенстве есть дробь, то знаменатель не должен обращаться в нуль.
$$a+b=b+a$$
Обе части определены при любых значениях $$a$$ и $$b$$. Это тождество.
$$ab+ac=a(b+c)$$
Обе части определены при любых значениях $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Это тождество.
$$\frac{a}{b}=\frac{1}{b}\cdot a$$
Обе части определены при $$b\ne 0$$. Это тождество.
$$\frac{1}{ab}=\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}$$
Обе части определены при $$a\ne 0$$ и $$b\ne 0$$. Это тождество.
$$\frac{(x+y)^2}{x+y}=x+y$$
Обе части определены при $$x+y\ne 0$$, то есть при $$x\ne -y$$. Это тождество.
$$x-y=\frac{x^2-y^2}{x+y}$$
Обе части определены при $$x+y\ne 0$$, то есть при $$x\ne -y$$. Это тождество.
$$\frac{m^3+m}{m^2+1}=m$$
Так как $$m^2+1\ne 0$$ при любых значениях $$m$$, обе части определены при любых $$m$$. Это тождество.
$$m^2-m+1=\frac{m^3+1}{m+1}$$
Обе части определены при $$m\ne -1$$. Это тождество.
$$\frac{a+b}{a^2-b^2}=\frac{1}{a-b}$$
Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$, обе части определены при $$a^2-b^2\ne 0$$, то есть при $$a\ne b$$ и $$a\ne -b$$. Это тождество.
$$\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a+b}=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$$
Обе части определены при $$a-b\ne 0$$ и $$a+b\ne 0$$, то есть при $$a\ne b$$ и $$a\ne -b$$. Приведём левую часть к общему знаменателю:
$$ \frac{a}{a-b}-\frac{b}{a+b} =\frac{a(a+b)-b(a-b)}{(a-b)(a+b)} =\frac{a^2+ab-ab+b^2}{a^2-b^2} =\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}. $$
Значит, это тождество.
Ответ
Все данные равенства являются тождествами. Области определения:
а) любые $$a$$ и $$b$$;
б) любые $$a$$, $$b$$ и $$c$$;
в) $$b\ne 0$$;
г) $$a\ne 0,\ b\ne 0$$;
д) $$x\ne -y$$;
е) $$x\ne -y$$;
ж) любые $$m$$;
з) $$m\ne -1$$;
и) $$a\ne b,\ a\ne -b$$;
к) $$a\ne b,\ a\ne -b$$.
