Упр.565 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)
При каких значениях букв определены обе части равенства:
а) $$a+b=b+a$$;
б) $$ab+ac=a(b+c)$$;
в) $$\frac{a}{b}=\frac{1}{b}\cdot a$$;
г) $$\frac{1}{ab}=\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}$$;
д) $$\frac{(x+y)^2}{x+y}=x+y$$;
е) $$x-y=\frac{x^2-y^2}{x+y}$$;
ж) $$\frac{m^3+m}{m^2+1}=m$$;
з) $$m^2-m+1=\frac{m^3+1}{m+1}$$;
и) $$\frac{a+b}{a^2-b^2}=\frac{1}{a-b}$$;
к) $$\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a+b}=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$$?
Являются ли эти равенства тождествами?
Найдём, при каких значениях букв обе части каждого равенства имеют смысл. Если в равенстве есть дробь, то знаменатель не должен обращаться в нуль.
$$a+b=b+a$$
Обе части определены при любых значениях $$a$$ и $$b$$. Это тождество.
$$ab+ac=a(b+c)$$
Обе части определены при любых значениях $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Это тождество.
$$\frac{a}{b}=\frac{1}{b}\cdot a$$
Обе части определены при $$b\ne 0$$. Это тождество.
$$\frac{1}{ab}=\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}$$
Обе части определены при $$a\ne 0$$ и $$b\ne 0$$. Это тождество.
$$\frac{(x+y)^2}{x+y}=x+y$$
Обе части определены при $$x+y\ne 0$$, то есть при $$x\ne -y$$. Это тождество.
$$x-y=\frac{x^2-y^2}{x+y}$$
Обе части определены при $$x+y\ne 0$$, то есть при $$x\ne -y$$. Это тождество.
$$\frac{m^3+m}{m^2+1}=m$$
Так как $$m^2+1\ne 0$$ при любых значениях $$m$$, обе части определены при любых $$m$$. Это тождество.
$$m^2-m+1=\frac{m^3+1}{m+1}$$
Обе части определены при $$m\ne -1$$. Это тождество.
$$\frac{a+b}{a^2-b^2}=\frac{1}{a-b}$$
Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$, обе части определены при $$a^2-b^2\ne 0$$, то есть при $$a\ne b$$ и $$a\ne -b$$. Это тождество.
$$\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a+b}=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$$
Обе части определены при $$a-b\ne 0$$ и $$a+b\ne 0$$, то есть при $$a\ne b$$ и $$a\ne -b$$. Приведём левую часть к общему знаменателю:
$$\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a+b} =\frac{a(a+b)-b(a-b)}{(a-b)(a+b)} =\frac{a^2+ab-ab+b^2}{a^2-b^2} =\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}.$$
Значит, это тождество.
Ответ
Все данные равенства являются тождествами. Области определения:
а) любые $$a$$ и $$b$$;
б) любые $$a$$, $$b$$ и $$c$$;
в) $$b\ne 0$$;
г) $$a\ne 0,\ b\ne 0$$;
д) $$x\ne -y$$;
е) $$x\ne -y$$;
ж) любые $$m$$;
з) $$m\ne -1$$;
и) $$a\ne b,\ a\ne -b$$;
к) $$a\ne b,\ a\ne -b$$.
