Упр.564 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Приведите пример верного равенства двух выражений относительно $$x$$, левая часть которого определена для всех $$x$$, отличных от $$0$$ и $$1$$, а правая — для всех $$x$$, отличных от $$0$$. Является ли это равенство тождеством?

Примером может служить равенство

$$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x(x-1)}=\frac{1}{x}.$$

Левая часть определена при $$x\neq 0$$ и $$x\neq 1$$, правая часть — при $$x\neq 0$$.

Преобразуем левую часть:

$$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x(x-1)} =\frac{x}{x(x-1)}-\frac{1}{x(x-1)} =\frac{x-1}{x(x-1)} =\frac{1}{x}.$$

Получили верное равенство для всех значений $$x$$, при которых обе части определены. Значит, это тождество.

Ответ

Например, $$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x(x-1)}=\frac{1}{x}$$; да, это тождество.