Упр.561 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Докажите, что для любых чисел $$x$$ и $$y$$ верно неравенство:

а) $$\frac{3}{x^2+y^2-6x+2y+13}\leqslant 1$$;

б) $$\frac{5}{x^2+y^2+8x-6y+30}\leqslant 1$$.

Определите, при каких значениях $$x$$ и $$y$$ левая часть неравенства равна правой.

а) Докажем неравенство:

$$\frac{3}{x^2+y^2-6x+2y+13}\le 1.$$

Так как знаменатель должен быть положительным, преобразуем неравенство:

$$3\le x^2+y^2-6x+2y+13,$$

$$x^2+y^2-6x+2y+10\ge 0.$$

Выделим полные квадраты:

$$x^2-6x+9+y^2+2y+1\ge 0,$$

$$(x-3)^2+(y+1)^2\ge 0.$$

Сумма квадратов неотрицательна при любых значениях $$x$$ и $$y$$, значит, неравенство верно.

Равенство достигается, когда оба квадрата равны нулю:

$$x-3=0,\quad y+1=0,$$

то есть при

$$x=3,\quad y=-1.$$

б) Докажем неравенство:

$$\frac{5}{x^2+y^2+8x-6y+30}\le 1.$$

Преобразуем:

$$5\le x^2+y^2+8x-6y+30,$$

$$x^2+y^2+8x-6y+25\ge 0.$$

Выделим полные квадраты:

$$x^2+8x+16+y^2-6y+9\ge 0,$$

$$(x+4)^2+(y-3)^2\ge 0.$$

Это верно при любых значениях $$x$$ и $$y$$.

Равенство достигается при

$$x+4=0,\quad y-3=0,$$

то есть при

$$x=-4,\quad y=3.$$

Ответ

а) Неравенство верно при любых $$x$$ и $$y$$; равенство при $$x=3,\ y=-1$$.

б) Неравенство верно при любых $$x$$ и $$y$$; равенство при $$x=-4,\ y=3$$.