Упр.560 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что для любого числа $$x$$ верно неравенство:
   а) $$\frac{2}{x^2+6x+11}\leq 1$$;
   б) $$\frac{4}{x^2-10x+29}\leq 1$$;
   в) $$\frac{6}{x^2+8x+22}\leq 1$$. Определите, при каком значении $$x$$ левая часть неравенства равна правой.

а)

$$\frac{2}{x^2+6x+11}\le 1$$
$$\frac{2}{(x+3)^2+2}\le 1$$
Так как $$(x+3)^2\ge 0$$, то
$$(x+3)^2+2\ge 2,$$
значит,
$$\frac{2}{(x+3)^2+2}\le 1$$
при любом значении $$x$$.

Равенство достигается, когда

$$(x+3)^2=0,\quad x=-3.$$

б)

$$\frac{4}{x^2-10x+29}\le 1$$
$$\frac{4}{(x-5)^2+4}\le 1$$
Так как $$(x-5)^2\ge 0$$, то
$$(x-5)^2+4\ge 4,$$
следовательно,
$$\frac{4}{(x-5)^2+4}\le 1$$
при любом значении $$x$$.

Равенство достигается, когда

$$(x-5)^2=0,\quad x=5.$$

в)

$$\frac{6}{x^2+8x+22}\le 1$$
$$\frac{6}{(x+4)^2+6}\le 1$$
Так как $$(x+4)^2\ge 0$$, то
$$(x+4)^2+6\ge 6,$$
значит,
$$\frac{6}{(x+4)^2+6}\le 1$$
при любом значении $$x$$.

Равенство достигается, когда

$$(x+4)^2=0,\quad x=-4.$$

Ответ

Во всех трёх случаях неравенство верно при любом $$x$$.
Равенство в левой и правой частях достигается при:
$$\text{а) } x=-3,\quad \text{б) } x=5,\quad \text{в) } x=-4.$$