Упр.557 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)
- Упростите выражение и вычислите его значение:
а) $$\frac{3m^2+6mn+3n^2}{6n^2-6m^2}$$ при $$m=0{,}5,\ n=\frac{2}{3}$$;
б) $$\frac{2n^2-2b^2}{4m^2-8bc+4c^2}$$ при $$b=0{,}25,\ c=\frac{1}{3}$$;
в) $$\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)$$ при $$x=0{,}35,\ y=7{,}65$$;
г) $$\frac{x^2+25}{(x-5)^3}+\frac{10x}{(5-x)^3}$$ при $$x=5{,}125$$.
а) $$\frac{3m^2+6mn+3n^2}{6n^2-6m^2}=\frac{3(m^2+2mn+n^2)}{6(n^2-m^2)}=\frac{3(m+n)^2}{6(n-m)(n+m)}=\frac{m+n}{2(n-m)}.$$
Подставим $$m=0{,}5=\frac12,\quad n=\frac23$$:
$$\frac{m+n}{2(n-m)}=\frac{\frac12+\frac23}{2\left(\frac23-\frac12\right)}=\frac{\frac76}{2\cdot\frac16}=\frac76\cdot 3=\frac72=3{,}5.$$
б) $$\frac{2n^2-2b^2}{4b^2-8bc+4c^2}=\frac{2(n^2-b^2)}{4(b^2-2bc+c^2)}=\frac{2(n-b)(n+b)}{4(b-c)^2}.$$
В исходном решении здесь используются значения $$b=0{,}25=\frac14,\quad c=\frac13$$, и после сокращения получается:
$$\frac{c+b}{2(c-b)}=\frac{\frac13+\frac14}{2\left(\frac13-\frac14\right)}=\frac{\frac7{12}}{2\cdot\frac1{12}}=\frac7{12}\cdot 6=\frac72=3{,}5.$$
в) $$\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac1{y^2-x^2}+\frac1{x^2+2xy+y^2}\right).$$
Разложим знаменатели:
$$y^2-x^2=(y-x)(y+x),\qquad x^2+2xy+y^2=(x+y)^2.$$
Тогда
$$\frac1{y^2-x^2}+\frac1{x^2+2xy+y^2}=\frac1{(y-x)(y+x)}+\frac1{(x+y)^2}=\frac{2y}{(y-x)(y+x)^2}.$$
Следовательно,
$$\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac1{y^2-x^2}+\frac1{x^2+2xy+y^2}\right)=\frac{4xy}{(y-x)(y+x)}\cdot\frac{(y-x)(y+x)^2}{2y}=2x(y+x).$$
Подставим $$x=0{,}35,\quad y=7{,}65$$:
$$2\cdot 0{,}35\cdot(0{,}35+7{,}65)=0{,}7\cdot 8=5{,}6.$$
г) $$\frac{x^2+25}{(x-5)^3}+\frac{10x}{(5-x)^3}.$$
Так как $$(5-x)^3=-(x-5)^3,$$ то
$$\frac{x^2+25}{(x-5)^3}+\frac{10x}{(5-x)^3}=\frac{x^2+25}{(x-5)^3}-\frac{10x}{(x-5)^3}=\frac{x^2-10x+25}{(x-5)^3}.$$
$$\frac{x^2-10x+25}{(x-5)^3}=\frac{(x-5)^2}{(x-5)^3}=\frac1{x-5}.$$
При $$x=5{,}125$$ получаем:
$$\frac1{5{,}125-5}=\frac1{0{,}125}=8.$$
Ответ
а) $$3{,}5$$; б) $$3{,}5$$; в) $$5{,}6$$; г) $$8$$.
