Упр.554 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. Какие из данных алгебраических дробей ни при каких числовых значениях $$x$$ не принимают целых значений: $$\frac{1}{x};\ \frac{1-x}{1+x};\ \frac{1}{x^2+4};\ \frac{9}{x^3-1}$$?

Проверим, при каких значениях алгебраическая дробь может быть целым числом.

1) $$\frac{1}{x}$$

При $$x=1$$ получаем $$\frac{1}{x}=1$$, при $$x=-1$$ получаем $$\frac{1}{x}=-1$$. Значит, эта дробь может принимать целые значения.

2) $$\frac{1-x}{1+x}$$

При $$x=0$$ имеем $$\frac{1-0}{1+0}=1$$. Следовательно, и эта дробь может быть целой.

3) $$\frac{1}{x^2+4}$$

Так как $$x^2 \ge 0$$, то $$x^2+4 \ge 4$$. Тогда

$$0<\frac{1}{x^2+4}\le \frac{1}{4}.$$

Значит, эта дробь всегда положительна и меньше 1, поэтому целым числом быть не может.

4) $$\frac{9}{x^3-1}$$

При $$x=2$$ получаем

$$\frac{9}{2^3-1}=\frac{9}{7},$$

это не целое число. Но при $$x=\sqrt[3]{10}$$ знаменатель равен $$9$$, и дробь становится равной $$1$$. Значит, эта дробь может принимать целые значения.

Следовательно, ни при каких значениях $$x$$ целых значений не принимает только дробь $$\frac{1}{x^2+4}$$.

Ответ

$$\frac{1}{x^2+4}$$