Упр.549 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Упростив рациональное выражение, найдите его значение:
а) $$\left(\frac{a}{a+1}-\frac{a^3}{a^2+2a+1}\right):\left(\frac{a}{a+1}-\frac{a^2}{a^2-1}\right)$$ при $$a=-3$$;
б) $$\left(\frac{n-1}{n+1}-\frac{n+1}{n-1}\right)\left(\frac{1}{2}-\frac{n}{4}-\frac{1}{4n}\right)$$ при $$n=3$$.

а) Упростим выражение:

$$\left(\frac{a^2}{a+1}-\frac{a^3}{a^2+2a+1}\right):\left(\frac{a}{a+1}-\frac{a^2}{a^2-1}\right)$$

Так как $$a^2+2a+1=(a+1)^2,$$ а $$a^2-1=(a-1)(a+1),$$ получаем:

$$\frac{a^2(a+1)-a^3}{(a+1)^2}:\frac{a(a-1)-a^2}{(a-1)(a+1)} = \frac{a^2}{(a+1)^2}:\frac{-a}{(a-1)(a+1)}$$

$$\frac{a^2}{(a+1)^2}\cdot\frac{(a-1)(a+1)}{-a} = -\frac{a(a-1)}{a+1} = \frac{a(1-a)}{a+1}$$

Подставим $$a=-3$$:

$$\frac{-3(1-(-3))}{-3+1} = \frac{-3\cdot 4}{-2} = 6$$

б) Упростим выражение:

$$\left(\frac{n-1}{n+1}-\frac{n+1}{n-1}\right)\cdot\left(\frac12-\frac n4-\frac1{4n}\right)$$

Приведём первую скобку к общему знаменателю:

$$\frac{(n-1)^2-(n+1)^2}{(n+1)(n-1)} = \frac{n^2-2n+1-n^2-2n-1}{(n+1)(n-1)} = \frac{-4n}{(n+1)(n-1)}$$

Вторую скобку преобразуем:

$$\frac12-\frac n4-\frac1{4n} = \frac{2n-n^2-1}{4n} = -\frac{(n-1)^2}{4n}$$

Тогда

$$\frac{-4n}{(n+1)(n-1)}\cdot\left(-\frac{(n-1)^2}{4n}\right) = \frac{n-1}{n+1}$$

Подставим $$n=3$$:

$$\frac{3-1}{3+1} = \frac24 = \frac12$$

Ответ

а) $$6$$; б) $$\frac12$$.