Упр.532 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Дробь $$\frac{p}{q}$$ несократима. Будет ли несократимой дробь: а) $$\frac{q}{p}$$; б) $$\frac{p+q}{q}$$; в) $$\frac{q}{p+q}$$; г) $$\frac{p}{p+q}$$?

Пусть $$\frac{p}{q}$$ — несократимая дробь. Тогда числа $$p$$ и $$q$$ взаимно просты, то есть $$\gcd(p,q)=1$$.

Проверим каждую дробь.

1. $$\frac{q}{p}$$

   Числитель и знаменатель те же самые, только поменяны местами. Если бы дробь $$\frac{q}{p}$$ сокращалась, то и $$\frac{p}{q}$$ тоже сокращалась бы. Значит, $$\frac{q}{p}$$ — несократимая.

2. $$\frac{p+q}{q}=\frac{p}{q}+1$$

   Так как $$\frac{p}{q}$$ несократима, то $$p$$ и $$q$$ взаимно просты. Тогда

   $$\gcd(p+q,q)=\gcd(p,q)=1,$$

   значит, дробь $$\frac{p+q}{q}$$ тоже несократимая.

3. $$\frac{q}{p+q}$$

   Если бы число $$d>1$$ делило и $$q$$, и $$p+q$$, то оно делило бы и разность

   $$\left(p+q\right)-q=p.$$

   Тогда $$d$$ делило бы и $$p$$, и $$q$$, что невозможно, так как $$\gcd(p,q)=1$$. Значит, $$\frac{q}{p+q}$$ — несократимая дробь.

4. $$\frac{p}{p+q}$$

   Аналогично, если бы число $$d>1$$ делило и $$p$$, и $$p+q$$, то оно делило бы разность

   $$\left(p+q\right)-p=q.$$

   Тогда $$d$$ делило бы и $$p$$, и $$q$$, что противоречит взаимной простоте чисел $$p$$ и $$q$$. Значит, $$\frac{p}{p+q}$$ — несократимая дробь.

Ответ

а) да; б) да; в) да; г) да.