Упр.476 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Докажите, что при любых натуральных $$a \ne 1$$ каждое число вида $$a^4+4$$ является составным числом.

Разложим многочлен $$a^4+4$$ на множители, выделив полный квадрат:

$$a^4+4=a^4+4a^2-4a^2+4=(a^2+2)^2-4a^2$$
$$=(a^2+2)^2-(2a)^2=(a^2+2-2a)(a^2+2+2a)$$
$$=(a^2-2a+2)(a^2+2a+2)$$

При натуральном $$a\ne 1$$ оба множителя больше $$1$$, значит число $$a^4+4$$ раскладывается на два натуральных множителя, отличных от единицы. Следовательно, оно составное.

Ответ

$$a^4+4=(a^2-2a+2)(a^2+2a+2),$$ поэтому при любых натуральных $$a\ne 1$$ число $$a^4+4$$ — составное.