Упр.45 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

б) Известно, что р, р + 2, р + 4 — простые числа. Найдите р. Докажите, что других р не существует.

1. Пусть одно из трёх соседних нечётных чисел равно $$3n+1$$ или $$3n+2$$.

   Если число имеет вид $$3n+1$$, то следующее нечётное число равно

   $$3n+1+2=3n+3=3(n+1),$$

   то есть делится на 3.

   Если число имеет вид $$3n+2$$, то следующие нечётные числа равны

   $$3n+2+2=3n+4,$$

   $$3n+4+2=3n+6=3(n+2).$$

   Значит, одно из трёх соседних нечётных чисел обязательно делится на 3.

2. Пусть $$p,\, p+2,\, p+4$$ — простые числа.

   Если бы $$p$$ было чётным, то при простоте оно могло бы быть только $$2$$. Но тогда

   $$p+2=4,$$

   а это не простое число. Значит, $$p$$ — нечётное простое число.

   Тогда числа $$p,\, p+2,\, p+4$$ — три соседних нечётных числа. По пункту а) одно из них делится на 3.

   Так как все три числа простые, делиться на 3 может только число $$3$$. Следовательно, $$p=3$$.

   Проверим:

   $$p+2=3+2=5,$$

   $$p+4=3+4=7.$$

   Оба числа простые.

   Других значений $$p$$ не существует.

Ответ

а) Одно из трёх соседних нечётных чисел делится на 3.
б) $$p=3$$.