Упр.449 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. Задача Диофанта. Докажите, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма двух квадратов, само представляется двумя способами в виде суммы двух квадратов:
   $$\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=\left(ac+bd\right)^2+\left(bc-ad\right)^2;$$
   $$\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=\left(ac-bd\right)^2+\left(bc+ad\right)^2.$$

Раскроем скобки в правой части и приведём подобные слагаемые.

а)

$$(ac+bd)^2+(bc-ad)^2$$
$$= a^2c^2+2abcd+b^2d^2+b^2c^2-2abcd+a^2d^2$$
$$= a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$$
$$= (a^2+b^2)(c^2+d^2).$$

Значит,

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(bc-ad)^2.$$

б)

$$(ac-bd)^2+(bc+ad)^2$$
$$= a^2c^2-2abcd+b^2d^2+b^2c^2+2abcd+a^2d^2$$
$$= a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$$
$$= (a^2+b^2)(c^2+d^2).$$

Следовательно,

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(bc+ad)^2.$$

Ответ

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(bc-ad)^2=(ac-bd)^2+(bc+ad)^2.$$