Упр.448 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

448. Задача Пифагора. Докажите, что всякое нечётное натуральное число, кроме 1, есть разность квадратов двух последовательных натуральных чисел.
Пусть 2x+1 – нечётное натуральное число, не равное 1.
Два последовательных натуральных числа равны x и x+1.
Составим равенство:
2x+1=(x+1)^2-x^2
2x+1=x^2+2x+1-x^2
2x+1=2x+1
Что и требовалось доказать.

Пусть дано любое нечётное натуральное число, отличное от 1. Тогда его можно записать в виде $$2x+1$$, где $$x$$ — натуральное число.

Рассмотрим два последовательных натуральных числа $$x$$ и $$x+1$$. Найдём разность их квадратов:

$$ (x+1)^2-x^2=x^2+2x+1-x^2=2x+1. $$

Значит, любое нечётное натуральное число, кроме 1, представимо в виде разности квадратов двух последовательных натуральных чисел.

Ответ

Любое нечётное натуральное число, кроме 1, можно представить как $$ (x+1)^2-x^2 $$, где $$x$$ и $$x+1$$ — последовательные натуральные числа.