Упр.447 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Задача

делённый на 9, даёт остаток 1. Докажите.
Пусть дано число a.
a:9=b (ост.1) или a:9=b (ост.8).
Следовательно: a=9b+1 или a=9b+8.
Докажем:
(9b+1)^2/9=(81b^2+18b+1)/9
Так как числа 81 и 18 делятся нацело на 9, то остаток будет 1.
(9b+8)^2/9=(81b^2+144b+64)/9
Числа 81 и 144 делятся нацело на 9. Число 64 делится на 9 с остатком:
64:9=7 (ост.1).
Таким образом, квадрат этого числа, делённый на 9, даёт остаток 1.
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть число $$a$$ при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$ или $$8$$. Тогда

$$a=9b+1 \quad \text{или} \quad a=9b+8,$$

где $$b$$ — целое число.

Рассмотрим оба случая.

1) Если $$a=9b+1$$, то

$$ a^2=(9b+1)^2=81b^2+18b+1. $$

Первые два слагаемых делятся на $$9$$, а число $$1$$ при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$. Значит, $$a^2$$ при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$.

2) Если $$a=9b+8$$, то

$$ a^2=(9b+8)^2=81b^2+144b+64. $$

Числа $$81b^2$$ и $$144b$$ делятся на $$9$$, а

$$64=9\cdot 7+1,$$

то есть число $$64$$ при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$. Следовательно, и в этом случае $$a^2$$ при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$.

Итак, если число при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$ или $$8$$, то его квадрат при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$.