Упр.447 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Задача

Задача Ибн Сины. Если число, будучи разделено на $$9$$, даёт остаток $$1$$ или $$8$$, то квадрат этого числа, делённый на $$9$$, даёт остаток $$1$$. Докажите.

Подробный ответ

Пусть число $$a$$ при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$ или $$8$$. Тогда

$$a=9b+1 \quad \text{или} \quad a=9b+8,$$

где $$b$$ — целое число.

Рассмотрим оба случая.

1) Если $$a=9b+1$$, то

$$a^2=(9b+1)^2=81b^2+18b+1.$$

Первые два слагаемых делятся на $$9$$, а число $$1$$ при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$. Значит, $$a^2$$ при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$.

2) Если $$a=9b+8$$, то

$$a^2=(9b+8)^2=81b^2+144b+64.$$

Числа $$81b^2$$ и $$144b$$ делятся на $$9$$, а

$$64=9\cdot 7+1,$$

то есть число $$64$$ при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$. Следовательно, и в этом случае $$a^2$$ при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$.

Итак, если число при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$ или $$8$$, то его квадрат при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$.