Упр.446 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Задача

а) (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^16 + 1)(2^32 + 1);
б) (2 + 1)(2^2 + 2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^16 + 1)(2^32 + 1) + 1/2^64;
в) (3 + 2)(З^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^16 + 2^16)(3^32 + 2^32) + 2^64/3^64

Подробный ответ

а) Используем формулу разности квадратов несколько раз:

$$ (2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1) $$
$$ =(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1) $$
$$ =(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1) $$
$$ =(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1) $$
$$ =(2^{16}-1)(2^{16}+1)(2^{32}+1) $$
$$ =(2^{32}-1)(2^{32}+1)=2^{64}-1. $$

б) Преобразуем выражение:

$$ \frac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1}{2^{64}} $$
$$ =\frac{(2^{64}-1)+1}{2^{64}} =\frac{2^{64}}{2^{64}}=1. $$

в) Аналогично:

$$ \frac{(3+2)(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})(3^{32}+2^{32})+2^{64}}{3^{64}} $$
$$ =\frac{(3^2-2^2)(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})(3^{32}+2^{32})+2^{64}}{3^{64}} $$
$$ =\frac{(3^4-2^4)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})(3^{32}+2^{32})+2^{64}}{3^{64}} $$
$$ =\frac{(3^8-2^8)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})(3^{32}+2^{32})+2^{64}}{3^{64}} $$
$$ =\frac{(3^{16}-2^{16})(3^{16}+2^{16})(3^{32}+2^{32})+2^{64}}{3^{64}} $$
$$ =\frac{(3^{32}-2^{32})(3^{32}+2^{32})+2^{64}}{3^{64}} =\frac{3^{64}-2^{64}+2^{64}}{3^{64}}=1. $$