Упр.444 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Задача

444. Докажите, что:
а) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел является нечётным числом;
б) разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится на 4;
в) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.
а) Пусть первое число равно x, тогда второе число равно x+1.
(x+1)^2-x^2=x^2+2x+1-x^2=2x+1 – нечётное число.
Таким образом, доказано, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел является нечётным числом.
б) Пусть первое число равно 2x, тогда второе число равно 2x+2.
(2x+2)^2-(2x)^2=4x^2+8x+4-4x^2=8x+4=4•(2x+1) – делится на 4, так как один из множителей (4) делится на 4.
Таким образом, доказано, что разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится на 4.
в) Пусть первое число равно 2x-1, тогда второе число равно 2x+1.
(2x+1)^2-(2x-1)^2=4x^2+4x+1-4x^2+4x-1=8x – делится на 8, так как один из множителей (8) делится на 8.
Таким образом, доказано, что разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.

Подробный ответ

а) Пусть первое число равно $$x$$, тогда второе число равно $$x+1$$. Тогда

$$ (x+1)^2-x^2=x^2+2x+1-x^2=2x+1. $$

Число $$2x+1$$ нечётное, значит, разность квадратов двух последовательных натуральных чисел — нечётное число.

б) Пусть первое число равно $$2x$$, тогда второе число равно $$2x+2$$. Тогда

$$ (2x+2)^2-(2x)^2=4x^2+8x+4-4x^2=8x+4=4(2x+1). $$

Следовательно, эта разность делится на $$4$$.

в) Пусть первое число равно $$2x-1$$, тогда второе число равно $$2x+1$$. Тогда

$$ (2x+1)^2-(2x-1)^2=4x^2+4x+1-(4x^2-4x+1)=8x. $$

Число $$8x$$ делится на $$8$$, значит, разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на $$8$$.