Упр.428 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Упростите выражение двумя способами:

а) $$(x-1)^3-(x+1)^3$$;

б) $$(x+2)^3+(x-2)^3$$.

а) Раскроем скобки:

$$(x-1)^3-(x+1)^3= (x^3-3x^2+3x-1)-(x^3+3x^2+3x+1)$$

$$x^3-3x^2+3x-1-x^3-3x^2-3x-1=-6x^2-2$$

Теперь упростим вторым способом, используя формулу разности кубов:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Пусть $$a=x-1$$, $$b=x+1$$. Тогда

$$(x-1)^3-(x+1)^3=((x-1)-(x+1))\big((x-1)^2+(x-1)(x+1)+(x+1)^2\big)$$

$$=-2\big((x^2-2x+1)+(x^2-1)+(x^2+2x+1)\big)$$

$$=-2(3x^2+1)=-6x^2-2$$

б) Раскроем скобки:

$$(x+2)^3+(x-2)^3= (x^3+6x^2+12x+8)+(x^3-6x^2+12x-8)$$

$$=2x^3+24x$$

Теперь упростим вторым способом, используя формулу суммы кубов в виде вынесения общего множителя:

$$(x+2)^3+(x-2)^3=((x+2)+(x-2))\big((x+2)^2-(x+2)(x-2)+(x-2)^2\big)$$

$$=2x\big((x^2+4x+4)-(x^2-4)+(x^2-4x+4)\big)$$

$$=2x(x^2+12)=2x^3+24x$$

Ответ

$$\text{а) } -6x^2-2; \qquad \text{б) } 2x^3+24x.$$