Упр.420 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Упростите выражение двумя способами: а) $$(x+3)^3-(x+2)^3$$; б) $$(x+2)^3-(x+1)^3$$.

а) Раскроем кубы и приведём подобные слагаемые:

$$(x+3)^3-(x+2)^3= (x^3+9x^2+27x+27)-(x^3+6x^2+12x+8)$$

$$= x^3+9x^2+27x+27-x^3-6x^2-12x-8$$

$$=3x^2+15x+19.$$

Теперь упростим тем же выражением по формуле разности кубов:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

Пусть $$a=x+3$$, $$b=x+2$$. Тогда

$$(x+3)^3-(x+2)^3=((x+3)-(x+2))\big((x+3)^2+(x+3)(x+2)+(x+2)^2\big)$$

$$=1\cdot\big((x^2+6x+9)+(x^2+5x+6)+(x^2+4x+4)\big)$$

$$=3x^2+15x+19.$$

б) Аналогично:

$$(x+2)^3-(x+1)^3= (x^3+6x^2+12x+8)-(x^3+3x^2+3x+1)$$

$$= x^3+6x^2+12x+8-x^3-3x^2-3x-1$$

$$=3x^2+9x+7.$$

По формуле разности кубов:

$$(x+2)^3-(x+1)^3=((x+2)-(x+1))\big((x+2)^2+(x+2)(x+1)+(x+1)^2\big)$$

$$=1\cdot\big((x^2+4x+4)+(x^2+3x+2)+(x^2+2x+1)\big)$$

$$=3x^2+9x+7.$$

Ответ

а) $$3x^2+15x+19$$; б) $$3x^2+9x+7$$.