Упр.419 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. Выясните, является ли многочлен кубом какого-либо двучлена:
   а) $$8x^3+12x^2y+3xy^2+y^3$$;
   б) $$a^3+3a^2+3a+1$$;
   в) $$27+27b+9b^2+b^3$$.

Используем формулу куба двучлена:

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

1. $$8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3$$

   Представим первый и последний члены как кубы:

   $$8x^3=(2x)^3,\qquad y^3=y^3$$

   Тогда

   $$8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3=(2x)^3+3(2x)^2y+3(2x)y^2+y^3=(2x+y)^3$$

   Значит, многочлен является кубом двучлена.

2. $$a^3+3a^2+3a+1$$

   Сравним с формулой куба суммы:

   $$a^3+3a^2+3a+1=a^3+3a^2\cdot 1+3a\cdot 1^2+1^3=(a+1)^3$$

   Значит, многочлен является кубом двучлена.

3. $$27+27b+9b^2+b^3$$

   Перепишем в удобном порядке:

   $$b^3+9b^2+27b+27$$

   Заметим, что

   $$27=3^3,\qquad 9b^2=3\cdot 3^2b^2,\qquad 27b=3\cdot 3\cdot 3b$$

   По формуле куба суммы:

   $$b^3+9b^2+27b+27=(b+3)^3$$

   Значит, многочлен является кубом двучлена.

Ответ

а) да, $$8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3=(2x+y)^3$$;

б) да, $$a^3+3a^2+3a+1=(a+1)^3$$;

в) да, $$27+27b+9b^2+b^3=(b+3)^3$$.