Упр.412 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$(a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)=a^6-b^6$$;
   б) $$(a-1)(a-2)(a^2+a+1)(a^2+2a+4)=a^6-9a^3+8$$.

а) Сгруппируем множители:

$$(a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$$

$$=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Используем формулы:

$$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3,$$

$$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3.$$

Тогда

$$(a^3+b^3)(a^3-b^3)=a^6-b^6.$$

Следовательно, тождество верно.

б) Сгруппируем множители:

$$(a-1)(a-2)(a^2+a+1)(a^2+2a+4)$$

$$=(a-1)(a^2+a+1)(a-2)(a^2+2a+4).$$

Используем формулы:

$$(a-1)(a^2+a+1)=a^3-1,$$

$$(a-2)(a^2+2a+4)=a^3-8.$$

Тогда

$$(a^3-1)(a^3-8)=a^6-9a^3+8.$$

Следовательно, тождество верно.

Ответ

а) $$(a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)=a^6-b^6$$

б) $$(a-1)(a-2)(a^2+a+1)(a^2+2a+4)=a^6-9a^3+8$$