Упр.411 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

а) $$\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-\left(1+x\right)\left(1-x+x^2\right)$$;

б) $$\left(a^2-3\right)\left(a^4+3a^2+9\right)+a^4\left(1-a\right)\left(1+a\right)$$;

в) $$2p^2\left(2-p\right)\left(p^2+2p+4\right)-4\left(p-5\right)\left(5+p\right)$$;

г) $$n^5\left(2+n^2\right)\left(n^2-2\right)-\left(m-n^3\right)\left(m^2+mn^3+n^6\right)$$.

1. а) Используем формулу суммы кубов:

   $$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$$

   и формулу разности кубов:

   $$(1+x)(1-x+x^2)=1+x^3$$

   Тогда

   $$(x-1)(x^2+x+1)-(1+x)(1-x+x^2)=x^3-1-(1+x^3)=-2.$$

2. б) Применим формулу разности кубов:

   $$(a^2-3)(a^4+3a^2+9)=a^6-27$$

   и учтём, что

   $$a^4(1-a)(1+a)=a^4(1-a^2)=a^4-a^6.$$

   Тогда

   $$(a^2-3)(a^4+3a^2+9)+a^4(1-a)(1+a)=a^6-27+a^4-a^6=a^4-27.$$

3. в) Сначала преобразуем произведения:

   $$(2-r)(r^2+2r+4)=8-r^3$$

   и

   $$(r-5)(5+r)=r^2-25.$$

   Тогда

   $$2r^2(2-r)(r^2+2r+4)-4(r-5)(5+r) =2r^2(8-r^3)-4(r^2-25).$$

   Раскроем скобки:

   $$16r^2-2r^5-4r^2+100=-2r^5+12r^2+100.$$

4. г) Используем формулу разности квадратов:

   $$n^2-2=(n- \sqrt{2})(n+\sqrt{2})$$

   Но удобнее заметить, что

   $$n^5(n^2+2)(n^2-2)=n^5(n^4-4)=n^9-4n^5.$$

   Также

   $$(m-n^3)(m^2+mn^3+n^6)=m^3-n^9.$$

   Тогда

   $$n^5(n^2+2)(n^2-2)-(m-n^3)(m^2+mn^3+n^6) =n^9-4n^5-(m^3-n^9).$$

   Получаем

   $$2n^9-4n^5-m^3.$$

Ответ

а) $$-2$$; б) $$a^4-27$$; в) $$-2r^5+12r^2+100$$; г) $$2n^9-4n^5-m^3$$.