Упр.401 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)
Докажите тождество:
а) $$(a^3 + 1)(a — 1) = (a^2 — a + 1)(a^2 — 1);$$
б) $$m^3 + 1 = m(m + 1) + (1 — m)(1 — m^2);$$
в) $$(a + 2)(a^2 — 2a + 4) — a(a — 3)(3 + a) = 9a + 8;$$
г) $$m(m + a)(m — n) — (n + m)(n^2 — mn + n^2) = -n^2(m + n).$$
а)
$$\begin{aligned} (a^3+1)(a-1) &= a^4-a^3+a-1, \\ (a^2-a+1)(a^2-1) &= a^4-a^2-a^3+a^2+a-1 \\ &= a^4-a^3+a-1. \end{aligned}$$
Следовательно, тождество верно.б)
$$\begin{aligned} m(m+1)+(1-m)(1-m^2) &= m^2+m+(1-m)(1-m^2) \\ &= m^2+m+\bigl(1-m^2-m+m^3\bigr) \\ &= m^3+1. \end{aligned}$$
Значит, тождество верно.в)
$$\begin{aligned} (a+2)(a^2-2a+4)-a(a-3)(3+a) &= (a^3+8)-a(a^2-9) \\ &= a^3+8-a^3+9a \\ &= 9a+8. \end{aligned}$$
Тождество верно.г)
$$\begin{aligned} m(m+n)(m-n)-(n+m)(m^2-mn+n^2) &= m(m^2-n^2)-(m+n)(m^2-mn+n^2) \\ &= (m^3-mn^2)-\bigl(m^3+n^3\bigr) \\ &= -mn^2-n^3 \\ &= -n^2(m+n). \end{aligned}$$
Тождество верно.
Ответ
а) верно; б) верно; в) верно; г) верно.
