Задание на исследование 4 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

а) Пусть

$$\frac{1}{6}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}.$$

Тогда

$$xy=6y+6x.$$

Перенесём и преобразуем:

$$xy-6x=6y,$$

$$x(y-6)=6y,$$

$$x=\frac{6y}{y-6}.$$

Аналогично

$$y=\frac{6x}{x-6}.$$

Введём замену:

$$y-6=a,\qquad x-6=b.$$

Тогда

$$x=b+6,\qquad y=a+6.$$

Подставим в исходное равенство:

$$\frac{1}{6}=\frac{1}{b+6}+\frac{1}{a+6}.$$

Умножим на $$6(a+6)(b+6)$$:

$$ (a+6)(b+6)=6(a+6)+6(b+6). $$

Раскроем скобки:

$$ab+6a+6b+36=6a+6b+72.$$

Отсюда

$$ab=36.$$

Значит, нужно найти пары натуральных делителей числа $$36$$. Разложения на множители:

$$36=1\cdot 36=2\cdot 18=3\cdot 12=4\cdot 9=6\cdot 6.$$

Пара $$6\cdot 6$$ не подходит, так как по условию знаменатели должны быть различными. Поэтому остаются 4 пары, то есть 4 способа.

б) Пусть знаменатель дроби — простое число $$a$$:

$$\frac{1}{a}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}.$$

Тогда

$$xy=ay+ax,$$

$$xy-ay=ax,$$

$$y(x-a)=ax,$$

$$y=\frac{ax}{x-a}.$$

Введём замену:

$$x-a=n,\qquad y-a=m.$$

Тогда

$$x=n+a,\qquad y=m+a.$$

Подставим:

$$\frac{1}{a}=\frac{1}{n+a}+\frac{1}{m+a}.$$

Умножим на $$a(n+a)(m+a)$$:

$$ (n+a)(m+a)=a(m+a)+a(n+a). $$

Раскроем скобки:

$$mn+an+am+a^2=am+a^2+an+a^2.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$mn=a^2.$$

Так как $$a$$ — простое число, то число $$a^2$$ имеет только один разложение на множители в виде произведения взаимно простых делителей: $$1\cdot a^2$$. Следовательно, возможен только один способ представления дроби в виде суммы двух аликвотных дробей.