Упр.399 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

7. Подберите одночлены $$А$$, $$В$$ и $$С$$ так, чтобы выполнялось равенство:
   
   а) $$m^3 + А = (m + В)(m^2 — mn + n^2);$$
   
   б) $$(х + А)(х^2 — x + 25) = х^3 + В;$$
   
   в) $$(2x + 3у)(А — В + С) = 8x^3 + 27у^3;$$
   
   г) $$(4а + Зb)(А — В + С) = 64а^3 + 27b^3.$$

1. Используем формулу суммы кубов:

   $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

   Тогда

   $$m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2),$$

   значит,

   $$A=n^3,\quad B=n.$$

2. Снова применим формулу суммы кубов:

   $$x^3+5^3=(x+5)(x^2-5x+25).$$

   Следовательно,

   $$A=5,\quad B=125.$$

3. Представим выражение как сумму кубов:

   $$8x^3+27y^3=(2x)^3+(3y)^3=(2x+3y)(4x^2-6xy+9y^2).$$

   Значит,

   $$A=4x^2,\quad B=6xy,\quad C=9y^2.$$

4. Аналогично:

   $$64a^3+27b^3=(4a)^3+(3b)^3=(4a+3b)(16a^2-12ab+9b^2).$$

   Поэтому

   $$A=16a^2,\quad B=12ab,\quad C=9b^2.$$

Ответ

а) $$A=n^3,\ B=n.$$

б) $$A=5,\ B=125.$$

в) $$A=4x^2,\ B=6xy,\ C=9y^2.$$

г) $$A=16a^2,\ B=12ab,\ C=9b^2.$$