Упр.355 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Пользуясь рисунком 14, докажите формулу квадрата разности $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ для $$a>0$$, $$b>0$$, $$a>b$$.

Найдём площадь закрашенного квадрата двумя способами.

1) Если рассматривать его как часть большого квадрата со стороной $$a$$, то площадь большого квадрата равна $$a^2$$.

Из неё вычтем площадь маленького квадрата со стороной $$b$$, то есть $$b^2$$, и площади двух прямоугольников:

$$2(a-b)b=2ab-2b^2.$$

Тогда площадь закрашенного квадрата равна

$$a^2-(2ab-2b^2)-b^2=a^2-2ab+2b^2-b^2=a^2-2ab+b^2.$$

2) С другой стороны, закрашенный квадрат имеет сторону $$a-b$$, значит, его площадь равна

$$(a-b)(a-b)=(a-b)^2.$$

Так как площадь одного и того же квадрата найдена двумя способами, получаем:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$

Ответ

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$