Упр.336 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

7. Докажите тождество:
   а) $$a-b=-(b-a);$$
   б) $$(x-y)(x+y)=x^2-y^2;$$
   в) $$(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2;$$
   г) $$(a-b)(a-b)=a^2-2ab+b^2;$$
   д) $$(m-n)(m^2+mn+n^2)=m^3-n^3;$$
   е) $$(m+n)(m^2-mn+n^2)=m^3+n^3;$$
   ж) $$(p+1)(p+1)(p+1)=p^3+3p^2+3p+1;$$
   з) $$(q-1)(q-1)(q-1)=q^3-3q^2+3q-1.$$

1. $$a-b=-(b-a)$$

   Раскроем скобки справа:

   $$-(b-a)=-b+a=a-b.$$

   Левая и правая части равны.

2. $$\left(x-y\right)\left(x+y\right)=x^2-y^2$$

   Раскроем скобки:

   $$\left(x-y\right)\left(x+y\right)=x^2+xy-xy-y^2=x^2-y^2.$$

3. $$\left(a+b\right)\left(a+b\right)=a^2+2ab+b^2$$

   Раскроем скобки:

   $$\left(a+b\right)\left(a+b\right)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2.$$

4. $$\left(a-b\right)\left(a-b\right)=a^2-2ab+b^2$$

   Раскроем скобки:

   $$\left(a-b\right)\left(a-b\right)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2.$$

5. $$\left(m-n\right)\left(m^2+mn+n^2\right)=m^3-n^3$$

   Раскроем скобки:

   $$\left(m-n\right)\left(m^2+mn+n^2\right)=m^3+m^2n+mn^2-m^2n-mn^2-n^3=m^3-n^3.$$

6. $$\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)=m^3+n^3$$

   Раскроем скобки:

   $$\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)=m^3-m^2n+mn^2+m^2n-mn^2+n^3=m^3+n^3.$$

7. $$\left(p+1\right)\left(p+1\right)\left(p+1\right)=p^3+3p^2+3p+1$$

   Сначала возведём в квадрат:

   $$\left(p+1\right)\left(p+1\right)=p^2+2p+1.$$

   Тогда

   $$\left(p^2+2p+1\right)\left(p+1\right)=p^3+p^2+2p^2+2p+p+1=p^3+3p^2+3p+1.$$

8. $$\left(q-1\right)\left(q-1\right)\left(q-1\right)=q^3-3q^2+3q-1$$

   Сначала возведём в квадрат:

   $$\left(q-1\right)\left(q-1\right)=q^2-2q+1.$$

   Тогда

   $$\left(q^2-2q+1\right)\left(q-1\right)=q^3-q^2-2q^2+2q+q-1=q^3-3q^2+3q-1.$$

Ответ

Все тождества верны.