Задание на исследование 3 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. а) При каком наибольшем натуральном числе $$n$$ число $$10!$$ делится на $$n^n$$? ( $$10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 9 \cdot 10$$.) б) При каком наименьшем натуральном числе $$n$$ число $$10!$$ не делится на $$n^n$$?

Разложим число $$10!$$ на простые множители:

$$10!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10$$

$$=2^8\cdot3^4\cdot5^2\cdot7.$$

Значит, $$10!$$ делится на $$1,\,2^2,\,3^4,\,4^4$$ и не делится на $$5^5,\,6^6$$ и т. д.

а) Наибольшее $$n$$, при котором число $$10!$$ делится на $$n^n$$, равно $$4$$, так как

$$4^4=256,$$

а для $$n=5$$ уже получаем $$5^5$$, и $$10!$$ на него не делится.

б) Наименьшее $$n$$, при котором число $$10!$$ не делится на $$n^n$$, равно $$5$$, потому что

$$5^5=3125,$$

и это число не является делителем $$10!$$.

Ответ

а) $$4$$; б) $$5$$.