Упр.290 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

б) Вычислите: 11! — (1 * 1! + 2 * 2! + 3 * 3! + … + 10 * 10!).

а) Используем определение факториала:

$$ (n+1)! = (n+1)\cdot n! $$

Тогда

$$ (n+1)! — n\cdot n! = (n+1)\cdot n! — n\cdot n! = n!\bigl((n+1)-n\bigr)=n!. $$

Значит, равенство верно.

б) Обозначим

$$ S=11!-(1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\dots+10\cdot10!). $$

По формуле из пункта а):

$$ k\cdot k! = (k+1)!-k! $$

Тогда

$$ \begin{aligned} S&=11!-\bigl((2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+\dots+(11!-10!)\bigr)\\ &=11!- \bigl(11!-1!\bigr)\\ &=1!. \end{aligned} $$

Следовательно,

$$ S=1. $$

Ответ

а) $$ (n+1)!-n\cdot n!=n! $$; б) $$ 1 $$.