Упр.290 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. а) Докажите, что $$(n+1)!-n\cdot n!=n!$$.
2. б) Вычислите: $$11!-(1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\ldots+10\cdot10!)$$.

а) Используем определение факториала:

$$(n+1)! = (n+1)\cdot n!$$

Тогда

$$(n+1)! — n\cdot n! = (n+1)\cdot n! — n\cdot n! = n!\bigl((n+1)-n\bigr)=n!.$$

Значит, равенство верно.

б) Обозначим

$$S=11!-(1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\dots+10\cdot10!).$$

По формуле из пункта а):

$$k\cdot k! = (k+1)!-k!$$

Тогда

$$\begin{aligned} S&=11!-\bigl((2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+\dots+(11!-10!)\bigr)\\ &=11!- \bigl(11!-1!\bigr)\\ &=1!. \end{aligned}$$

Следовательно,

$$S=1.$$

Ответ

а) $$(n+1)!-n\cdot n!=n!$$; б) $$1$$.