Упр.282 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Задача

а) а (b + с) = аb + ас (рис. 11, а);
б) а(b + с + d) = ab + ас + ad (рис. 11, б).
На рисунках изображены прямоугольники, разбитые ещё на 2 и на 3 прямоугольника.
Известно, что a > 0,b > 0,c > 0,d > 0.
Необходимо доказать верность равенства.
а) a(b+c)=ab+ac
Из этой записи следует, что для нахождения площади всего прямоугольника, нужно ширину a умножить на длину, но длина разбита на длины b и c. Следовательно, ширину a умножаем на длину b+c.
Равенство верно, потому что площадь всего прямоугольника так же можно найти, если сложить площади двух прямоугольников со сторонами a и b, и a и c. Для этого необходимо найти площади этих прямоугольников, умножив длину на ширину, и полученные результаты сложить: ab+ac.
б) a(b+c+d)=ab+ac+ad
В этом случае прямоугольник разбит на три прямоугольника, то есть аналогично первому случаю, но добавляется сторона d.
Получается, для того, чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо ширину a умножить на сумму длин маленьких прямоугольников (b+c+d).
Получаем: a(b+c+d).
То же самое получится, если найти площадь каждого прямоугольника по отдельности и сложить их площади:
ab+ac+ad.

Подробный ответ

Рассмотрим площадь прямоугольника на рисунке. Её можно найти двумя способами.

а) Если одна сторона равна $$a$$, а другая разбита на отрезки $$b$$ и $$c$$, то вся длина равна $$b+c$$. Тогда площадь всего прямоугольника:

$$a(b+c).$$

С другой стороны, этот же прямоугольник состоит из двух прямоугольников площадей $$ab$$ и $$ac$$. Значит, площадь всего прямоугольника равна:

$$ab+ac.$$

Следовательно,

$$a(b+c)=ab+ac.$$

б) Если другая сторона разбита на отрезки $$b$$, $$c$$ и $$d$$, то вся длина равна $$b+c+d$$. Тогда площадь всего прямоугольника:

$$a(b+c+d).$$

С другой стороны, прямоугольник состоит из трёх прямоугольников площадей $$ab$$, $$ac$$ и $$ad$$. Значит, площадь всего прямоугольника равна:

$$ab+ac+ad.$$