Упр.179 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

б) Найдите все целые числа, которые при делении на 4 дают остаток 3, при делении на 3 дают остаток 2, при делении на 2 дают остаток 1.

1. а) Пусть искомое число при делении на 4, на 3 и на 2 даёт остаток 1. Тогда оно имеет вид $$n=4k+1.$$

   Проверим числа этого вида по модулю $$3$$ и $$2$$. Нужно, чтобы выполнялось:

   $$n\equiv 1 \pmod 4,\quad n\equiv 1 \pmod 3,\quad n\equiv 1 \pmod 2.$$

   Это означает, что число $$n-1$$ делится на $$4,$$ на $$3$$ и на $$2,$$ то есть на $$\operatorname{lcm}(4,3,2)=12.$$

   Следовательно, все такие числа имеют вид $$n=12k+1,$$ где $$k\in \mathbb{Z}.$$

2. б) Пусть число при делении на 4 даёт остаток 3, при делении на 3 — остаток 2, при делении на 2 — остаток 1. Тогда

   $$n\equiv 3 \pmod 4,\quad n\equiv 2 \pmod 3,\quad n\equiv 1 \pmod 2.$$

   Заметим, что $$n+1$$ делится на $$4,$$ на $$3$$ и на $$2,$$ значит, $$n+1$$ делится на $$12.$$

   Тогда $$n=12k-1,$$ где $$k\in \mathbb{Z}.$$

   Проверка: $$11$$ даёт остатки $$3,$$ $$2,$$ $$1,$$ значит, все решения действительно имеют вид $$12k+11.$$

Ответ

а) $$n=12k+1,\ k\in \mathbb{Z}.$$
б) $$n=12k+11,\ k\in \mathbb{Z}.$$