Упр.178 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Задача

а) двух последовательных целых чисел делится на 2;
б) трёх последовательных целых чисел делится на 6;
в) четырёх последовательных целых чисел делится на 24.

Подробный ответ

а) Пусть $$x$$ — первое число, тогда второе число равно $$x+1$$. Их произведение:

$$x(x+1).$$

Из двух последовательных целых чисел одно обязательно чётное, значит, произведение делится на $$2$$.

б) Пусть $$x$$ — первое число, тогда следующие числа: $$x+1$$ и $$x+2$$. Их произведение:

$$x(x+1)(x+2).$$

Среди трёх последовательных целых чисел одно обязательно делится на $$2$$, а одно — на $$3$$. Значит, всё произведение делится на $$2 \cdot 3 = 6$$.

в) Пусть $$x$$ — первое число, тогда следующие числа: $$x+1$$, $$x+2$$ и $$x+3$$. Их произведение:

$$x(x+1)(x+2)(x+3).$$

Среди четырёх последовательных целых чисел два числа чётные, значит, произведение делится на $$2 \cdot 2 = 4$$. Кроме того, среди них обязательно есть число, делящееся на $$3$$. Следовательно, всё произведение делится на $$4 \cdot 3 = 12$$.

Но нужно доказать делимость на $$24$$. Заметим, что среди четырёх последовательных целых чисел одно делится на $$4$$, а одно — на $$3$$, и ещё одно — на $$2$$. Тогда произведение делится на $$4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$$.

Что и требовалось доказать.