Упр.176 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 7 класс, Просвещение: 176. Докажите обратное утверждение для каждого признака делимости. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 nikol7 176 715

а) Пусть $$a=\overline{a_n\ldots a_2a_1a_0}.$$ Тогда

$$a=10^n a_n+\cdots+10^2a_2+10a_1+a_0=10\bigl(10^{n-1}a_n+\cdots+10a_2+a_1\bigr)+a_0.$$

Так как число, делящееся на $$2,$$ при умножении на $$10$$ остаётся делящимся на $$2,$$ то для делимости всего числа на $$2$$ необходимо, чтобы $$a_0$$ делилось на $$2.$$

б) Аналогично, если $$a$$ делится на $$5,$$ то

$$a=10\bigl(10^{n-1}a_n+\cdots+10a_2+a_1\bigr)+a_0.$$

Поскольку $$10$$ делится на $$5,$$ то для делимости всего числа на $$5$$ необходимо, чтобы $$a_0$$ делилось на $$5.$$

в) Если $$a$$ делится на $$10,$$ то

$$a=10\bigl(10^{n-1}a_n+\cdots+10a_2+a_1\bigr)+a_0.$$

Так как $$10$$ делится на $$10,$$ то для делимости числа на $$10$$ необходимо, чтобы $$a_0=0.$$

г) Если $$a$$ делится на $$4,$$ то

$$a=100\bigl(10^{n-2}a_n+\cdots+a_2\bigr)+10a_1+a_0=100\bigl(10^{n-2}a_n+\cdots+a_2\bigr)+\overline{a_1a_0}.$$

Так как $$100$$ делится на $$4,$$ то для делимости всего числа на $$4$$ необходимо, чтобы число, образованное последними двумя цифрами, $$\overline{a_1a_0},$$ делилось на $$4.$$

д) Если $$a$$ делится на $$25,$$ то

$$a=100\bigl(10^{n-2}a_n+\cdots+a_2\bigr)+\overline{a_1a_0}.$$

Поскольку $$100$$ делится на $$25,$$ то для делимости всего числа на $$25$$ необходимо, чтобы число $$\overline{a_1a_0}$$ делилось на $$25.$$

е) Если $$a$$ делится на $$3,$$ то

$$10\equiv 1 \pmod 3,$$ значит

$$a=10^n a_n+\cdots+10a_1+a_0 \equiv a_n+\cdots+a_1+a_0 \pmod 3.$$

Следовательно, для делимости числа на $$3$$ необходимо, чтобы сумма его цифр $$a_0+a_1+\cdots+a_n$$ делилась на $$3.$$

ж) Если $$a$$ делится на $$11,$$ то

$$10\equiv -1 \pmod{11},$$ значит

$$a=10^n a_n+\cdots+10a_1+a_0 \equiv (-1)^n a_n+\cdots- a_1+a_0 \pmod{11}.$$

То есть для делимости на $$11$$ необходимо, чтобы разность суммы цифр, стоящих на чётных и нечётных местах, делилась на $$11$$. В частности, для числа с цифрами $$a_5a_4a_3a_2a_1a_0$$ это условие имеет вид

$$a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5,$$

и эта величина должна делиться на $$11.$$

з) Если $$a$$ делится на $$125,$$ то

$$a=1000\bigl(10^{n-3}a_n+\cdots+a_3\bigr)+\overline{a_2a_1a_0}.$$

Так как $$1000$$ делится на $$125,$$ то для делимости всего числа на $$125$$ необходимо, чтобы число, образованное последними тремя цифрами, $$\overline{a_2a_1a_0},$$ делилось на $$125.$$

Ответ

Обратные утверждения для признаков делимости на $$2,$$ $$5,$$ $$10,$$ $$4,$$ $$25,$$ $$3,$$ $$11$$ и $$125$$ доказаны.