Упр.175 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 7 класс, Просвещение: 175. Придумайте и докажите признак делимости: а) на 125; б) на 8. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 nikol7 175 715

а) Число делится на $$125$$, если его последние три цифры равны $$000$$ или образуют число, делящееся на $$125$$.

Докажем это. Пусть число имеет вид

$$a=\overline{a_n\dots a_3a_2a_1a_0}=\overline{a_n\dots a_3}\cdot 1000+\overline{a_2a_1a_0}.$$

Если последние три цифры равны $$000$$, то

$$a=\overline{a_n\dots a_3}\cdot 1000.$$

Так как $$1000$$ делится на $$125$$, то и число $$a$$ делится на $$125$$.

Если последние три цифры образуют число, делящееся на $$125$$, то это число можно представить как $$125k$$. Тогда

$$a=\overline{a_n\dots a_3}\cdot 1000+125k=125\bigl(8\overline{a_n\dots a_3}+k\bigr),$$

значит, $$a$$ делится на $$125$$.

б) Число делится на $$8$$, если его последние три цифры равны $$000$$ или образуют число, делящееся на $$8$$.

Докажем это. Пусть

$$a=\overline{a_n\dots a_3a_2a_1a_0}=\overline{a_n\dots a_3}\cdot 1000+\overline{a_2a_1a_0}.$$

Если последние три цифры равны $$000$$, то

$$a=\overline{a_n\dots a_3}\cdot 1000.$$

Так как $$1000$$ делится на $$8$$, то и число $$a$$ делится на $$8$$.

Если последние три цифры образуют число, делящееся на $$8$$, то это число можно представить как $$8k$$. Тогда

$$a=\overline{a_n\dots a_3}\cdot 1000+8k=8\bigl(125\overline{a_n\dots a_3}+k\bigr),$$

значит, $$a$$ делится на $$8$$.

Ответ

а) Число делится на $$125$$ тогда и только тогда, когда его последние три цифры равны $$000$$ или образуют число, делящееся на $$125$$.
б) Число делится на $$8$$ тогда и только тогда, когда его последние три цифры равны $$000$$ или образуют число, делящееся на $$8$$.