Упр.174 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Задача

Докажите признак делимости: число $$a=a_5\ldots a_2a_1a_0$$ делится на 11, если сумма $$a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5$$ делится на 11.

Подробный ответ

Пусть

$$a= a_5a_4a_3a_2a_1a_0=10^5a_5+10^4a_4+10^3a_3+10^2a_2+10a_1+a_0.$$

Рассмотрим разность

$$\begin{aligned} a-\left(a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5\right) &=10^5a_5+10^4a_4+10^3a_3+10^2a_2+10a_1+a_0 \\ &\quad -a_0+a_1-a_2+a_3-a_4+a_5 \\ &=100001a_5+9999a_4+1001a_3+99a_2+11a_1. \end{aligned}$$

Вынесем $$11$$:

$$100001a_5+9999a_4+1001a_3+99a_2+11a_1=11\left(9091a_5+909a_4+91a_3+9a_2+a_1\right).$$

Значит, разность $$a-\left(a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5\right)$$ делится на $$11$$.

Если сумма $$a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5$$ делится на $$11$$, то и число $$a$$ отличается от неё на число, делящееся на $$11$$, следовательно, само число $$a$$ тоже делится на $$11$$.

Обратно, если $$a$$ делится на $$11$$, то и разность $$a-\left(a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5\right)$$ делится на $$11$$, значит, делится на $$11$$ и сумма $$a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5$$.

Следовательно, число $$a$$ делится на $$11$$ тогда и только тогда, когда сумма $$a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5$$ делится на $$11$$.