Упр.173 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)
- Докажите признак делимости (для $$n=5$$ или $$n=6$$):
а) число $$a=a_n\ldots a_2a_1a_0$$ делится на $$2$$, если число $$a_0$$ делится на $$2$$;
б) число $$a=a_n\ldots a_2a_1a_0$$ делится на $$5$$, если число $$a_0$$ делится на $$5$$;
в) число $$a=a_n\ldots a_2a_1a_0$$ делится на $$10$$, если $$a_0=0$$;
г) число $$a=a_n\ldots a_2a_1a_0$$ делится на $$4$$, если или число $$a_1a_0$$ (при $$a_1\ne0$$) делится на $$4$$, или число $$a_0$$ (при $$a_1=0$$) делится на $$4$$;
д) число $$a=a_n\ldots a_2a_1a_0$$ делится на $$25$$, если или число $$a_1a_0$$ (при $$a_1\ne0$$) делится на $$25$$, или $$a_1=a_0=0$$;
е) число $$a=a_n\ldots a_2a_1a_0$$ делится на $$3$$, если сумма его цифр $$a_0+a_1+\ldots+a_n$$ делится на $$3$$.
Пусть $$a=\overline{a_n\dots a_2a_1a_0}$$.
а) Если $$a_0$$ делится на $$2$$, то
$$a=\overline{a_n\dots a_2a_1a_0}=\overline{a_n\dots a_2a_1 0}+a_0.$$
Число $$\overline{a_n\dots a_2a_1 0}$$ делится на $$10$$, а значит, и на $$2$$. Слагаемое $$a_0$$ тоже делится на $$2$$, следовательно, и число $$a$$ делится на $$2$$.
б) Если $$a_0$$ делится на $$5$$, то
$$a=\overline{a_n\dots a_2a_1a_0}=\overline{a_n\dots a_2a_1 0}+a_0.$$
Число $$\overline{a_n\dots a_2a_1 0}$$ делится на $$10$$, а значит, и на $$5$$. Слагаемое $$a_0$$ делится на $$5$$, значит, и число $$a$$ делится на $$5$$.
в) Если $$a_0=0$$, то
$$a=\overline{a_n\dots a_2a_1 0}=\overline{a_n\dots a_2a_1}\cdot 10.$$
Так как $$10$$ делится на $$10$$, то и число $$a$$ делится на $$10$$.
г) Если число $$\overline{a_1a_0}$$ делится на $$4$$, то
$$a=\overline{a_n\dots a_2a_1a_0}=\overline{a_n\dots a_2}\cdot 100+\overline{a_1a_0}.$$
Так как $$100$$ делится на $$4$$ и $$\overline{a_1a_0}$$ делится на $$4$$, то число $$a$$ делится на $$4$$.
Если же $$a_1=0$$ и число $$a_0$$ делится на $$4$$, то $$\overline{a_1a_0}=a_0$$, и рассуждение остаётся тем же.
д) Если число $$\overline{a_1a_0}$$ делится на $$25$$, то
$$a=\overline{a_n\dots a_2a_1a_0}=\overline{a_n\dots a_2}\cdot 100+\overline{a_1a_0}.$$
Так как $$100$$ делится на $$25$$ и $$\overline{a_1a_0}$$ делится на $$25$$, то число $$a$$ делится на $$25$$.
Если $$a_1=a_0=0$$, то $$\overline{a_1a_0}=0$$, а значит, число $$a$$ также делится на $$25$$.
е) Запишем число $$a$$ в развернутом виде:
$$a=a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+\dots+a_2\cdot 10^2+a_1\cdot 10+a_0.$$
Так как $$10\equiv 1 \pmod 3$$, то для любого $$k$$ имеем $$10^k\equiv 1 \pmod 3$$. Поэтому
$$a\equiv a_n+a_{n-1}+\dots+a_2+a_1+a_0 \pmod 3.$$
Следовательно, число $$a$$ делится на $$3$$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $$3$$.
Ответ
Признаки делимости доказаны.
